046.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费$x$(万元)之间的函数关系为$Q=\dfrac{3x+1}{x+1}$$\left( x\ge 0 \right)$．已知生产此产品的年固定投入为$3$万元，每生产$1$万元此产品仍需再投入$32$万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的$150\%$”与“年平均每件所占广告费的$50 \%$”之和．
(1)试将年利润$W$(万元)表示为年广告费$x$(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
解：(1)由题意可得，产品的生产成本为$\left( 32Q+3 \right)$万元，每万件销售价为$\dfrac{32Q+3}{Q}\times 150 \%+\dfrac{x}{Q}\times 50 \%$，
∴年销售收入为$\left( \dfrac{32Q+3}{Q}\times 150 \%+\dfrac{x}{Q}\times 50\% \right)Q$ $=\dfrac{3}{2}\left( 32Q+3 \right)+\dfrac{1}{2}x$
∴年利润$W=\dfrac{3}{2}\left( 32Q+3 \right)+\dfrac{1}{2}x-\left( 32Q+3 \right)-x$
$=\dfrac{1}{2}\left( 32Q+3-x \right)$$=\dfrac{-{{x}^{2}}+98x+35}{2\left( x+1 \right)}$$\left( x\ge 0 \right)$。
(2)令$x+1=t\left( t\ge 1 \right)$，则$x=t-1$，
∴$W=50-\left( \dfrac{t}{2}+\dfrac{32}{t} \right)$$\left( t\ge 1 \right)$。
∵$t\ge 1$，∴$\dfrac{t}{2}+\dfrac{32}{t}\ge 2\sqrt{\dfrac{t}{2}\cdot \dfrac{32}{t}}=8$，
∴$W\le 50-8=42$，
当且仅当$\dfrac{t}{2}=\dfrac{32}{t}$，即$t=8$时，$W$有最大值42，此时$x=7$.
∴当年广告费为$7$万元时，企业利润最大，最大值为$42$万元。
