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高考数学必做百题第43题(理科2017版)

  2016-10-04 17:33:13  

 043.(1)已知$f(x)$ 是定义在$R$上的奇函数。当$x>0$ 时,$f(x)={{x}^{2}}-4x$,则不等式

$f(x)>x$的解集用区间表示为________;
(2)若$a<0$,则关于$x$ 的不等式$a{{x}^{2}}-2\ge 2x-ax(x\in R)$解集为______。
解:(1)∵$f(x)$是定义在$R$上的奇函数,
∴$f(0)=0$,又当$x<0$时,$-x>0$,
∴$f(-x)={{x}^{2}}+4x$,又$f(x)$为奇函数,
∴$f(-x)=f(x)$,
∴$f(x)=-{{x}^{2}}-4x(x<0)$,
①当$x>0$时,由$f(x)>x$得${{x}^{2}}-4x>x$,解得$x>5$;
②当$x=0$时,$f(x)>x$无解;
③当$x<0$时,由$f(x)>x$得$-{{x}^{2}}-4x>x$,解得$-5<x<0$。
综上,不等式$f(x)>x$的解集为(-5,0)∪(5,+∞)。
考点:分段函数,函数性质,二次不等式。
(2)当$a<0$时,原不等式化为$\left( x-\dfrac{2}{a} \right)\left( x+1 \right)<0$ ,
①当$\dfrac{2}{a}>-1$ ,即$a<-2$ 时,解得$-1<x<\dfrac{2}{a}$;
②当$\dfrac{2}{a}=-1$,即$a=-2$时,无解;
③当$\dfrac{2}{a}<-1$,即$-2<a<0$时,解得$\dfrac{2}{a}<x<-1$。
综上,不等式的解集
当$-2<a<0$时为$\left\{ x|\dfrac{2}{a}<x<-1 \right\}$;
当$a=-2$时为$\varnothing $ ;
当$a<-2$时为$\left\{ x|-1<x<\dfrac{2}{a} \right\}$。
考点:二次不等式的解集,参数分类。


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