041.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初有资金$2 000$万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了$50 \%$.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金$d$万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第$n$年年底企业上缴资金后的剩余资金为$a_n$万元。
（1）用$d$表示$a_1 ，a_2$ ，并写出$a_{n ＋ 1} $与$a_n$ 的关系式；
（2）若公司希望经过$m(m≥3)$年使企业的剩余资金为$4 000$万元，试确定企业每年上缴资金$d$的值（用$m$表示）。
解：（1）由题意，
得$a_1 ＝2 000（1＋50\%）-d＝3 000-d$，
$a_2 ＝a_1 （1＋50\%）-d＝\dfrac{3}{2}a_1 -d＝4 500-\dfrac{5}{2}$d，
$a_{n+ 1} ＝a_n （1＋50\%）-d＝\dfrac{3}{2}a_n -d$。
（2）由（1）得$a_n ＝\dfrac{3}{2}a_{n - 1} -d$，
$＝\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{3}{2}{{a}_{n-2}}-d \right)-d$
$＝{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}{{a}_{n-2}}-\dfrac{3}{2}d-d$
…
$={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}{{a}_{1}}-d\left[ 1+\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\cdots +{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-2}} \right]$
∴${{a}_{n}}={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}\left( 3000-d \right)-2d\left[ {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}-1 \right]$
$={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}\left( 3000-3d \right)+2d$，
∵${{a}_{m}}=4000$，
即${{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m-1}}\left( 3000-3d \right)+2d=4000$，
∴$d=\dfrac{\left[ {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m}}-2 \right]\times 1000}{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m}}-1}=\dfrac{1000\left( {{3}^{m}}-{{2}^{m+1}} \right)}{{{3}^{m}}-{{2}^{m}}}$。
∴该企业每年上缴资金d的值为$\dfrac{1000\left( {{3}^{m}}-{{2}^{m+1}} \right)}{{{3}^{m}}-{{2}^{m}}}$时，经过$m(m≥3)$年企业的剩余资金为$4 000$万元。
