考点：和差角公式，倍角公式，三角函数值求角。

031.（1）已知$\alpha ,\beta \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$，满足

$\tan \left( \alpha +\beta  \right)=4\tan \beta $，求$\tan \alpha $的最大值；

（2）已知角$\alpha \in (\dfrac{\pi }{4},\dfrac{3\pi }{4})$, $\beta \in (0,\dfrac{\pi }{4})$,

$\tan (\dfrac{\pi }{4}-\alpha )=-\dfrac{4}{3}$, $\sin (\dfrac{3\pi }{4}+\beta )=\dfrac{5}{13}$, 

求$\sin (\alpha +\beta )$的值。

解：（1）∵$\tan \left( \alpha +\beta  \right)=4\tan \beta $，

∴$\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=4\tan \beta $

解得$\tan \alpha =\dfrac{3\tan \beta }{1+4{{\tan }^{2}}\beta }$。

∵$\beta \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$，∴$\tan \beta >0$，

∴$\tan \alpha =\dfrac{3}{\dfrac{1}{\tan \beta }+4\tan \beta }$

$\le \dfrac{3}{2\sqrt{\dfrac{1}{\tan \beta }\cdot 4\tan \beta }}=\dfrac{3}{4}$，

当且仅当$\dfrac{1}{\tan \beta }=4\tan \beta $，即$\tan \beta =\dfrac{1}{2}$时取等号， 

∴$\tan \alpha $的最大值是$\dfrac{3}{4}$。

（2）∵$\dfrac{3\pi }{4}+\beta -\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)=\dfrac{\pi }{2}+\left( \alpha +\beta  \right)$， 

∴ $\sin \left( \alpha +\beta  \right)=-\cos \left[ \dfrac{\pi }{2}+\left( \alpha +\beta  \right) \right]$

$=-\cos \left[ \left( \dfrac{3\pi }{4}+\beta  \right)-\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right) \right]$

$=-\cos \left( \dfrac{3\pi }{4}+\beta  \right)\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)-\sin \left( \dfrac{3\pi }{4}+\beta  \right)\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)$

∵$\alpha \in (\dfrac{\pi }{4},\dfrac{3\pi }{4})$ $\Rightarrow -\dfrac{3\pi }{4}<-\alpha <-\dfrac{\pi }{4}$ 

$\Rightarrow $ $-\dfrac{\pi }{2}<\dfrac{\pi }{4}-\alpha <0$，

∴$\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)}}=\dfrac{3}{5}$，

∴ $\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)$

=$-\sqrt{1-{{\cos }^{2}}(\dfrac{\pi }{4}-\alpha )}$=$-\sqrt{1-{{(\dfrac{3}{5})}^{2}}}$=$-\dfrac{4}{5}$，

∵$0<\beta <\dfrac{\pi }{4}$$\Rightarrow $$\dfrac{3\pi }{4}<\dfrac{3\pi }{4}+\beta <\pi $，

∴$\cos \left( \dfrac{3\pi }{4}+\beta  \right)$$=-\sqrt{1-{{\sin }^{2}}(\dfrac{3\pi }{4}-\beta )}$

$=-\sqrt{1-{{(\dfrac{5}{13})}^{2}}}=-\dfrac{12}{13}$。

∴$\sin \left( \alpha +\beta  \right)$$=-\left( -\dfrac{12}{13} \right)\times \dfrac{3}{5}-\dfrac{5}{13}\times \left( -\dfrac{4}{5} \right)=\dfrac{56}{65}$。