考点：倍角公式，诱导公式。

030. （1）设$f\left( x \right)=\dfrac{1+\cos 2x}{2\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)}+\sin x+{{a}^{2}}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$

的最大值为$\sqrt{2}+3$，求常数$a$的值；

（2）已知$\alpha ,\beta \in \left( 0,\pi  \right)$，且$\tan \left( \alpha -\beta  \right)=\dfrac{1}{2}$，

$\tan \beta =-\dfrac{1}{7}$，求$2\alpha -\beta $的值。

解：（1）

$\begin{align}  & f(x)=\dfrac{1+2{{\cos }^{2}}x-1}{2\cos x}+\sin x+{{a}^{2}}\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\ & =\cos x+\sin x+{{a}^{2}}\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\ & =\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4})+{{a}^{2}}\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\ & =(\sqrt{2}+{{a}^{2}})\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\ \end{align}$

∵$f\left( x \right)$最大值为$\sqrt{2}+3$，

∴$\sqrt{2}+{{a}^{2}}=\sqrt{2}+3$，解得$a=\pm \sqrt{3}$。

考点：倍角公式，辅助角公式，正弦函数性质。

（2）∵$\tan \alpha =\tan \left[ \left( \alpha -\beta  \right)+\beta  \right]$

$=\dfrac{\tan \left( \alpha -\beta  \right)+\tan \beta }{1-\tan \left( \alpha -\beta  \right)\tan \beta }$

$=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}}{1+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{7}}=\dfrac{1}{3}$，

∴$\tan \alpha =\dfrac{1}{3}>0$。∴$0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}$，

又∵$\tan 2\alpha =\dfrac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }=\dfrac{2\times \dfrac{1}{3}}{1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{4}>0$，

∴$0<2\alpha <\dfrac{\pi }{2}$，

∴$\tan \left( 2\alpha -\beta  \right)=\dfrac{\tan 2\alpha -\tan \beta }{1+\tan 2\alpha \tan \beta }=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{7}}{1-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{7}}=1$。∵$\tan \beta =-\dfrac{1}{7}<0$，∴$\dfrac{\pi }{2}<\beta <\pi $，

于是$-\pi <2\alpha -\beta <0$，

∴$2\alpha -\beta =-\dfrac{3\pi }{4}$。