高考数学必做百题第12题（理科2017版）打印页面

012. （1）（2016天津13）已知

$f\left( x \right)$ 是定义在

$R$ 上的偶函数，且在区间

$\left( -\infty ,0 \right)$ 上单调递增.若实数

$a$ 满足

$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(-\sqrt{2})$ ，则

$a$ 的取值范围是______。

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+(4a-3)x+3a,x<0, \\ & {{\log }_{a}}(x+1)+1,x\ge 0 \\ \end{align} \right.$

$\left( a>0,a\ne 1 \right)$ 在

$R$ 上单调递减，且关于x的方程

$|f(x)|=2-x$ 恰好有两个不相等的实数解，则

$a$ 的取值范围是（）

$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right] \bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$ D.

$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)\bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$

解：（1）∵偶函数

$f\left( x \right)$ 在

$\left( 0,+\infty \right)$ 上递减，

∴

$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(-\sqrt{2})$ 转化为

$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(\sqrt{2})$ ，

转化为

${{2}^{\left| a-1 \right|}}<\sqrt{2}$ ，转化为

$\left| a-1 \right|<\dfrac{1}{2}$ ，

∴

$\left\{ \begin{align} & 3-4a\ge 0 \\ & 3a\ge 1,0<a<1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \dfrac{1}{3}\le a\le \dfrac{3}{4}$ ，（可借助图像）

∵方程

$|f(x)|=2-x$ 恰好有两个不相等的实数解，

∴

$3a\le 2$ ，

$\dfrac{1}{a}-1\le 2$ ，

$\dfrac{1}{3}\le a\le \dfrac{2}{3}$ ，

又∵

$a=\dfrac{3}{4}$ 时，抛物线

$y={{x}^{2}}+(4a-3)x+3a$ 与直线

$y=2-x$ 相切，也符合题意，

∴实数

$a$ 的去范围是

$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right]\bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$ ，故选

$C$ 。

说明：取

$a=\dfrac{2}{3}$ ，则

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+2,x<0, \\ & {{\log }_{\frac{2}{3}}}(x+1)+1,x\ge 0 \\ \end{align} \right.$ ，

显然，曲线

${{\log }_{\frac{2}{3}}}(x+1)+1,x\ge 0$ 与直线

$y=2-x$ 只有一个交点，

而二次曲线

${{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+2,x<0$ 与直线

$y=2-x$ 有一个交点，（或画其大致图像探索）

∴方程

$|f(x)|=2-x$ ，只有两个实数解。

∴

$a= \dfrac{2}{3}$ ，故选C。（特殊值排除法好！把求解转化为鉴定解决）