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12.2.5关于双曲线的几个重要结论

  2019-10-04 09:07:15  

双曲线与点的位置关系
Ⅰ、位置关系:
对于双曲线而言,已知点

Ⅱ、判断方法:
(1)“以点代面”判断法:
即在双曲线外找一特殊的点(如),将其坐标代入双曲线方程的左边式子,得,则判断出的点与所找的特殊点属于同一区域
(2)“位置结论”判断法:
对于双曲线而言,已知点
则点P在双曲线上;
则点P在双曲线外;
则点P在双曲线内。

双曲线与直线的位置关系
Ⅰ、双曲线与直线的位置关系:

Ⅱ、双曲线与直线位置关系的判断方法:
已知双曲线,直线联立得

1o ,则方程组有唯一一组解或无解,双曲线与直线相交于一点或不相交;
2o ,则,那么
时,双曲线与直线相交于两点;当时,双曲线与直线相切于一点;当时,双曲线与直线不相交,即相离。
Ⅲ、双曲线与直线位置关系的特点研究:
1o 双曲线与直线相交于两点,若直线的斜率为k,则弦长


2o 双曲线与直线相切于点,若双曲线方程是
则过切点的双曲线切线方程为


此外,求双曲线切线方程的一般方法是:“联立—消元—”。
3o 双曲线与直线相离,则可求双曲线与直线距离最近的点,或求直线与双曲线最短的距离。
设双曲线,直线
方法1:如图,是双曲线上任意一点,求点到直线的距离的最小值,这最小值就是直线与双曲线的最短距离。即求的最小值。

方法2:如图,平行于直线的动直线与双曲线相切时,平行线之间的较短距离就是直线与双曲线最短的距离。

双曲线与圆的位置关系
Ⅰ、只限于双曲线与圆有共同对称轴时,研究双曲线与圆的最小距离。
由于圆的半径是不变的,双曲线与圆的最小距离就转化为定圆的圆心与双曲线的最小距离。

Ⅱ、如图,设双曲线的点,圆与圆交于点,则

的最小值转化为求二次函数
在区间上的最小值,于是

Ⅲ、如图,设双曲线的点,圆与圆交于点,则


的最值转化为求二次函数
上的最小值,于是



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