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3.1.4 求函数定义域的常用方法

  2019-09-22 14:27:53  

常见的用解析式表示的函数$f(x)$的定义域可以归纳如下:
(1)若$f(x)$是整式,则$f(x)$的定义域是$R$.
(2)若$f(x)$是分式,则要求分母不为零.
(3)若$f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}(n \in N^*)$,则要求$g(x) \geqslant 0$。
(4)当$f(x)$为对数式时,函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合;如$f(x)=\text{log}[g(x)](a>0且a \neq 1)$,则要求$g(x)>0$.
(5)$y=x^0$的定义域是$\{x \in R | x \neq 0 \}$.
(6)若同时出现上述情况,则先分别找出各自的定义域,然后求交集.
(7)复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集.
(8)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域除上述外,还要受实际问题的制约.
(9)求含参数的函数的定义域时应进行分类讨论.
(10)抽象函数的定义域
对于无解析式的函数的定义域问题,要注意如下几点:
①$f[g(x)]$的定义域为$[a,b]$,指的是$x$的取值范围为$[a,b]$,而不是$g(x)$的取值范围为$[a,b]$.
②若已知$f(x)$定义域为$[a,b]$,求函数$f[g(x)]$的定义域,由不等式$a\leqslant g(x)\leqslant b$解出即可;
若已知$f[g(x)]$的定义域为$[a,b]$,求$f(x)$的定义域,相当于$x \in [a,b]$时,求$g(x)$的值域(即$f(x)$的定义域)

实例:

函数$f(x)=\dfrac{\sqrt{|x-2|-1}}{\text{log}_2 (x-1)}$的定义域为_________
解析:要使函数有意义,应有$\begin{cases}|x-2|-1 \geqslant 0 \\ x-1 >0 \\\text{log}_2 (x-1) \neq 0\end{cases}$
解得$x \geqslant 3$.
答案为$[3,+ \infty)$
点评:本题易忽视$\text{log}_2 (x-1) \neq 0$这一条件。

总结:一般将求给定函数解析式的定义域问题归结为解不等式组的问题,但在解不等式组时应细心,取交集时可借助于数轴,并且要注意端点或边界值的取舍.



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