本题主要考查圆锥曲线。

由题意双曲线方程为$x^2-\frac{y^2}{3}=1$，如图所示，因为$a=1$，$b=\sqrt{3}$，所以$c=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，即右焦点$F(2,0)$。因为$PF$与$x$轴垂直，所以设$P(2,y)$。由$P$点在双曲线上，解得$y=3$或$-3$，则$PF$的长为$3$，在$\triangle APF$中，边$PF$上的高$h=\mid 2-1\mid=1$，所以$S\vartriangle =\frac{1}{2}\times 3\times 1=\frac{3}{2}$。

故本题正确答案为D。