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高考数学必做百题第27题(文科2017版)

  2016-10-04 22:00:17  

027. 已知函数$y=\text{3}\sin \left( \omega x+\dfrac{\pi }{3} \right)$(ω>0)的图象与$y=-3$的图象的相邻两交点间的距离为$\pi $,

(1)求函数$y=f\left( x \right)$的解析式;

(2)画函数简图,写出函数的单调区间;

(3)说明此函数图象怎样由$y=\sin x$变换而来。

解:(1)∵函数$y=f\left( x \right)$的图象与$y=-3$的图象的相邻两交点间的距离为$\pi $,

∴$T=\pi =\dfrac{2\pi }{\omega }$,解得$\omega =2$。

∴函数解析式为$y=\text{3}\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right)$。

(2)由五点法,列表:

$x$  $-\dfrac{\pi }{6}$ $\dfrac{\pi }{12}$  $\dfrac{\pi }{3}$  $\dfrac{7\pi }{12}$  $\dfrac{5\pi }{6}$
$2x+\dfrac{\pi }{3}$ $ 0$  $\dfrac{\pi }{2}$  $\pi $  $\dfrac{3\pi }{2}$ $2\pi $
$3\sin(2x+\dfrac{\pi }{3}$) $0$ $3$ $0$ $-3$ $0$

描点画图,如下:

L026-1.png

∵函数的周期$T=\pi $,

∴函数递增区间是$\left[ k\pi -\dfrac{5\pi }{12},k\pi +\dfrac{\pi }{12} \right]\left( k\in Z \right)$,

函数递减区间是$\left[ k\pi +\dfrac{\pi }{12},k\pi +\dfrac{7\pi }{12} \right]\left( k\in Z \right)$。

(2)这种曲线可以由函数$y=\sin x$的图象经过如下变换得到,即:

①$y=\sin x\xrightarrow[{}]{左移\dfrac{\pi }{3}个单位}y=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)$

$\xrightarrow[横坐标变为\cfrac{1}{2}倍]{纵坐标不变}y=\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $ 

$\xrightarrow[横坐标不变]{纵坐标变为3倍}y=3\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $

②或$y=\sin x\xrightarrow[横坐标变为\cfrac{1}{2}倍]{纵坐标不变}y=\sin 2x$

$\xrightarrow[{}]{左移\dfrac{\pi }{6}个单位}y=\sin 2\left( x+\dfrac{\pi }{6} \right) $

$\xrightarrow[横坐标不变]{纵坐标变为3倍}y=3\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $

(注意:上述变换可以“先移后缩”,也可以“先缩后移”,注意两者的区别)

 



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