(本小题满分13分)
设椭圆()的左焦点为,上顶点为。已知椭圆的短轴长为,离心率为。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上。若(为原点),且,求直线的斜率。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意得,,
又,可得,,,
所以椭圆的方程为。
(Ⅱ)由题意,设(),,
设直线的斜率为(),
又,则直线的方程为,
与椭圆方程联立
整理得,可得,
代入得,进而直线的斜率为。
在中,令,则,
由题意得,所以直线的斜率为,
由,得,化简得,从而,
所以直线的斜率为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线和圆锥曲线的性质。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意得,,又,可得,,,所以椭圆的方程为。
(Ⅱ)由题意,设(),,设直线的斜率为(),又,则直线的方程为,将代入得,进而直线的斜率为。令,则,所以直线的斜率为,由化简得,从而,所以直线的斜率为或。