本题主要考查空间几何体。

根据题意画出空间几何体以及它的截面图。

因为四棱锥的底面是边长为的正方形，所以，可得，

由此可求出四棱锥的高为。

因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

所以根据截面图可得圆柱的底面半径为，

由此可以解出圆柱的高为，

根据圆柱的体积公式可得圆柱的体积为。

故本题正确答案为。