（12分）已知点$A(-2,0)$，$B(2,0)$，动点$M(x,y)$满足直线$AM$与$BM$的斜率之积为$-\dfrac{1}{2}$，记$M$的轨迹为曲线$C$。

（1）求$C$的方程，并说明$C$是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交$C$于$P$，$Q$两点，点$P$在第一象限，$PE \perp x$轴，垂足为$E$，连结$QE$并延长交$C$于点$G$。

（i）证明：$\triangle PQG$是直角三角形；

（ii）求$\triangle PQG$面积的最大值。