2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么的交线垂直于第三个平面。

（示范）已知：α∩β=l, α⊥γ, α∩γ=a，β⊥γ,β∩γ=b，

求证：l⊥γ

 

 

 

分析：如图要证l⊥γ（线面垂直），必须在γ内找到两相交的直线，使得它们都与l垂直，γ内两相交直线在哪里呢？要关注已知条件α⊥γ，β⊥γ如何利用面面垂直的性质定理来回答上述问题呢？面面垂直的性质定理揭示了可以由面面垂直转化为线面垂直，进而有线线垂直，因此在α、β或γ内作交线的垂线是首要的选择

证法（一）如图，在γ内任取一点P，作PA⊥a于A，PB⊥b于B。

∵α⊥γ，β⊥γ，α∩γ=a，β∩γ=b

∴PA⊥α，PB⊥β

∵α∩β=l

∴PA⊥l,PB⊥l

又PA∩PB=P,PAγ,PBγ

∴l⊥γ

证法（二）如图，分别在α，β内作异于l的直线m,n使得m⊥a于A,n⊥b于B

∵α⊥γ，α∩γ=a

 

评注：无论证法（一）还是证法（二）利用了面面垂直的性质定理，即利用了“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，使面面垂直的条件发挥了转化的作用。