B、应用举例

2、已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120，它的底面边长为a，求：

(1)棱锥的高；(2)侧面与底面所成的角；(3)侧棱与底面所成的角。

示范   演示

    分析：先将已知条件和所求的量具体化，作出相邻两侧面所成的二面角的平面角，计算棱锥的高即可。

    解：(1)如图，作SO⊥底面AC，垂足为O，作DE⊥SC于E，连接BE、BD、AC。

     ∵EC=EC，DC=BC，∠ECD=∠ECB

     ∴△DEC≌△BEC

             ∴∠BEC=∠DEC=90

     ∴BE⊥SC

     则∠DEB为相邻侧面SDC与SBC所成角的平面角

连接OE，则∠BEO=∠DEO=60

在Rt△EOB中，tan30

∴OE=OBtan30=a=

在Rt△SOC中，SO·OC=SC·OE即SO×a=SC×a

∴SC=SO

SC²=OC²+SO²即(SO)²=(a) ²+SO²

∴SO=a即棱锥的高为a

    

    (2)作OG⊥BC于G，连接SG，则G是BC的中点

     ∵SO⊥底面AC，

     ∴SG⊥BC(三垂线定理)

     ∴∠SGO是侧面与底面所成角的平面角

在Rt△SOG中，tan∠SGO==1

　

∴∠SGO=45即侧面与底面所成的角是45

    (3)∵SO⊥底面AC，

     ∴∠SCO是侧棱与底面所成的角

在Rt△SOC中，tan∠SCO==

∴∠SCO=arctan即侧棱与底面所成的角为arctan

     

评注：本题是正棱锥的常规计算问题，关键是应用正棱锥的性质，抓住两个直角三角形，揭示相关的角之间的内在关系。