第十二章  概率与统计(选修Ⅱ)学习分析

　    本章的教学内容是在初中“统计初步”和高中必修课的“概率”的基础上学习的，内容分为“随机变量”和“统计”两部分。主要内容如下：

　　离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的期望与方差；抽样方法；总体分布估计；正态分布；线性回归；实习作业。

　　一、学习学时

   本章共需14学时，具体设计如下：

　　1.1. 离散型随机变量的分布列       约2课时

　　1.2. 离散型随机变量的期望与方差   约2课时

　　1.3. 抽样方法      约3课时

　　1.4. 总体分布估计  约1课时

　　1.5. 正态分布      约2课时

　　1.6. 线性回归      约2课时

　　1.7. 实习作业      约1课时

　　小结与复习         约1课时

　　二、学习内容

　　本章内容分为两部分，第一部分属于概率论的初步知识，包括随机变量，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望与方差。第二部分属于统计初步，包括抽样方法，总体分布估计,正态分布,线性回归。

　　随机变量是概率论的一个基本概念，概率论是研究大量随机现象中的数量规律的数学分支，研究的大部分局限于能用随机变量来描述的随机现象随机变量的引入，使我们能用变量来刻划随机试验的结果以及随机事件，以便更好地借助于数学工具对随机现象进行研究随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种对于离散型随机变量，我们关心的是它会取什么值，取这些值的多与少，取值的平均值，稳定性等对于连续型随机变量，我们关心的是它在各个范围内取值的多与少等问题本章的第一部分就介绍与此有关的一些最基本的概念和知识。

　　数理统计是研究如何有效地收集，整理，分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门学科它是一门应用性很强的学科，凡是有大量数据出现的地方，都要用到数理统计现在，数理统计的内容已异常丰富，成为数学中最活跃的学科之一教科书选择了数理统计中最基本问题来介绍这门学科的思想与方法。

　　在本章的第二部分“统计”中，教科书选择了数理统计中最基本的问题来介绍这门学科的思想和方法数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体，第一个问题就是采集样本，然后才能作统计推断抽样方法就是介绍怎样科学、合理、公正地采集样本，教科书介绍了简单随机抽样，系统抽样和分层抽样，基中简单随机抽样是最基本的抽样方法这三种抽样方法各有其特点和适用范围，需在抽样实践中酌情选用从样本的分布估计总体的分布是数理统计的另一个基本问题教科书首先介绍了总体分布的意义，并用实际例子介绍了用样本的频率分布估计总体分布，用样本累积频率分布图估计总体的累积分布曲线假设检验是数理统计的一个基本问题，教科书借助于生产过程中的质量控制图介绍了假设检验的基本思想：首先作出一个统计假设，在此假设下某些随机事件是否发生，从此来判断事先所作的统计假设：拒绝这个假设，还是接受这个假设教科书还借此介绍了统计中的重要分布——正态分布的一些基本知识教科书接下去介绍了总体平均数的估计，在初中介绍用样本平均数估计总体平均数的基础上，介绍了总体方差的估计问题正文部分介绍的是“点估计”，在阅读材料中介绍了“区间估计”在本章的最后，通过一个实习作业，对本章的大部分内容进行一次复习，给学生提供一次自己动手解决简单实际问题的能力。

　　三、学习目标

　　1．了解随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

　　2．了解离散型随机变量的期望，方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望和方差。

　　3．了解连续型随机变量的概率密度的意义。

　　4．会用简单随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

　　5．会用与去估计总体方差，会用与去估计总体标准差。

　　6．会用样本频率分布去估计总体分布。

　　7．通过生产过程中的质量控制图了解假设检验的基本思想。

　　四、学习诠释

　　1.注意加强前后知识的联系

　　本章内容与初中的“统计初步”，高二的“排列，组合和概率”的联系非常密切，在教科书的编写中，注意沟通前后知识的联系，使整套教科书成为一个有机的整体，提高教学效益例如，在高二“排列，组合和概率”中，有一个重要内容“独立重复试验”，作为这部分内容的自然扩展，本章中安排了二项分布，并介绍了服从二项分布的随机变量的期望与方差，使随机变量这部分内容比较充实一些本章第二部分“统计”与初中“统计初步”的关系十分紧密，可以认为，这部分内容是初中“统计初步”的十分自然的扩展与深化但由于学生在学习初中的“统计初步”后直到学习本章之前，基本上没有复习“统计初步”的内容，对这些内容的遗忘程度会相当高，因此，本章在编写时非常注意联系初中“统计初步”的内容来展开新课例如，在讲抽样方法的开始时开始重温：在初中已经知道，通常我们不是直接研究一个总体，而是从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况，由此说明样本的抽取是否得当对研究总体来说十分关键；这样就会使学生认识到学习抽样方法十分重要又如在讲“总体特征数的估计”时，首先复习了在初中学过的总体平均数，总体方差的意义，复习了通常要用样本的有关量去对它们进行估计，复习了通常用样本平均数去估计总体平均数，在此基础上，来展开本节所要讨论的总体方差的估计问题

　　2.突出基本的内容及思想方法

　　概率论与数理统计已发展成一门庞大的学科，在生活和生产中有广泛的应用在中学中只能介绍这门学科最基本的内容，并通过这些内容介绍这门学科的基本思想方法本章概率部分介绍的随机变量使对随机现象的描述得以量化并借助于数学工具加以处理，这里体现了量化的思想概率论的基本问题包括研究离散型和连续型随机变量的分布及特征数本章概率部分借助于一些浅显的例子介绍这些内容，帮助学生理解这些基本概念并建立起与此相关的随机，概率，估计，集中与离散等基本的观念和思想这部分内容也仅限于介绍这些最基本的概念而不详细展开去介绍一些具体的分布及其特征数建立在现代数学和概率论基础上的数理统计，在近半个世纪以来已在理论，方法，应用上有了很大的发展，抽样调查，试验设计，回归分析与回归诊断，多元分析，时间序列分析，非参数统计，统计决策函数，统计计算，随机模拟，探索性数据分析等统计方法相继产生并在实践中普遍应用教科书则选择了数理统计中有关抽样方法，总体分布的估计，假设检验，特征数据的点估计和区间估计等最基本的数理统计问题来展开内容，介绍其中相关的统计思想与方法

　　3.注意理论联系实际，培养用数学的意识

　　学数学的出发点和归宿是用数学只有理论联系实际，才能使学生认识到学数学的价值，提高学习的自觉性，并培养兴趣联系实际是本章的一个显著特点现在，天气预报已广泛使用概率的语言，天气状况是人们都会面临的，对生产和经营活动产生很大影响的自然现象，人们常以天气状况的预测来进行决策，本章就以此作为一个问题引出内容本章引言的另一个问题是抽样调查问题，这是应用极其广泛的一类实际问题此外，教科书引入了大量的各种与概率与统计有关的实际问题来介绍本章内容，包括射击，产品检验，出租车计费，自动装置无故障运行，抛掷骰子，投篮，学生测验成绩，纤维长度，学生的体育锻炼时间，高尔顿板游戏等等大量引入各类实际问题，使学生能以数学的眼光来观察所处的客观世界，逐渐养成借助助数学的思想、观点、方法来思考研究问题，解决问题，培养学生用数学的意识

　　4.力求深入浅出，不追求理论的严谨性

　　本章的教学内容虽只限于概率论与数据统计的最基本概念，仍牵涉许多学生所不具备的基础知识限于教学时间以及学生的认知水平，不能追求数学上理论的严密性，许多概念只能给出直观的描述例如，在实际问题中，常量的函数仍是随机变量的函数问题一般的，随机变量的函数仍是随机变量，但教科书不把此总是展开作一般的讨论，而仅考虑教学需要介绍了具有线性关系的随机变量对于连续型随机变量及其概率密度函数，曲线的严格定义都需要微积分的知识，教科书也只是借助于实例给出直观描述对于离散型随机变量的严格描写要用集合论的语言，教科书则用“按一定次序一一列出”这样学生容易理解的语言对于离散型随机变量的期望概念的描写也是用浅显的语言而不用有关级数的理论等，教科书把有关的问题限制在随机变量取有限个不同值的情形对服从二项分布的随机变量的方差公式不作严格推导而直接给出，使教学要求有所控制

　　本章统计部分虽然在内容与要求上比初中“统计初步”略有提高，但总的来看仍属于统计中的一些较为初步的知识事实上，今日的统计学是建立在概率的理论基础之上的，而由于我们对概率知识学得很少，不可能对于统计知识介绍得很严格，例如要证明采用简单随机抽样进行抽样时，总体中的每一个体被抽样的概率相等，一个简单的办法是运用有关条件概率的知识来进行说明，但由于条件概率前面未学，为便于接受，教科书就采用了用实例进行说明的方法　　

    五、学习建议

　　1、注意把握学习要求

　　本章内容重在介绍概率与统计的一般的基本概念，很少涉及更具体内容的讨论，例如随机变量所服从的一些特殊分布，数字特征（即特征数）值在教学中要注意防止随意扩大教学范围，提高教学要求例如，可不必严格证明对于简单随机抽样来说，在整个抽样过程中总体的每个个体被抽取的概率相等；不必从理论上去探讨正态分布的性质；不必对总体方差的两个估量与作更深入的比较等等。习学中，要注意通过教科书中的基本内容，了解和理解从中反映出来的基本的概率与统计的思想，例如从样本估计总体的思想，必然与偶然，原因与结果的辩证关系，估计的思想，概率的观点，并了解所学知识在实际中的简单应用

　　2、学会用科学计算器处理统计计算

　　统计是与数据打交道的，处理问题时常计算量大而且比较复杂，如果不用科学计算器将会寸步难行。首先，要让学生备有这种计算器。其次，要求学生重视用科学计算器处理统计计算的技能训练。在这个问题上，可能认为它只是一些“死规定”而并不难掌握，或认为它比较费事会占用不少时间，或认为它不便于考查而抱有侥幸心理，从而造成对这种训练的不够重视。为此，学习中一方面要明确掌握这种技能的重要性，另一方面也要采取一定措施加强训练。

　　3.将应用题的训练和实习作业落到实处

 本章中的应用题占的比例较大，而且还有实习作业。其中的部分作业需要走出课堂，协作完成。由于它们操作性强而难度又不大，在已进入高中三年级，“高考”临近的情况下，可能对实习作业不予重视，不去实实在在的完成。这样，就会使本章培养应用能力和动手能力的学习目标大打折扣，影响了本章的学习效率。