第十章 排列、组合和二项式定理学习分析

本章作为高中数学必修内容的一个部份，在整个高中数学中占有重要地位。以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广的二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率学习中的二项分布有着密切联系。

本章学习约需17课时，具体分配如下：

10．1 加法原理和乘法原理 约2课时

10．2 排列 约4课时

10．3 组合 约5课时

10．4 二项式定理 约4课时

小结与复习 约2课时

一、内容分析

本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位，其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终。当将一个较复杂的问题通过分类学进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理，在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备。

本章还为部分学有余力的学习安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系。例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题。

二、学习要求

1、掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

3、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

三、内容要点

（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）

分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步。分类要用加法计数原理将种数相加；分步要用乘法计数原理，分步后再将种数相乘。

（2）两个概念（排列、组合）

排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误。

（3）两类基本公式

排列数公式    规定：0！=1

组合数公式       特别地：

（4）两类基本性质

排列性质：

组合性质：性质1., 性质2.

在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质。解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由写出。

排列数与组合数里的m、n的关系是

牢记：0！=1；

组合数派生性质：

（5）排列组合的综合应用

排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关。例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题有个不同的三位数。

按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义。

处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列。

在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型。

在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型。

（6）二项式定理的有关概念

第一、对通项要注意以下几点:

①它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定。

    ②公式表示的是第r+1项，而不是第r项。

    ③公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n。

第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起。

（7）二项式系数的性质

①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（）项和第（）项的二项式系数相等且最大。

③展开式的所有二项式系数的和等于.即

④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即

             =

注意：

①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数。

②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要。

③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决。

四、学习建议

1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做

分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性。

分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础。
    2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合
    排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考。
    (1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通。
    (2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别。
    (3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题。
    3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质
    排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高。

4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发

排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法。

排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.、及n、m取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣。