评注:本题主要是依托平面向量的模、数量积等知识，通过形与数的相互转化，实现与三角函数的有机结合，使试题的考查力度加大、综合能力增强.

   评注: 本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能．
    (1)把函数的图象C按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C'，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径．
    (2)一般地，函数y=f(x)的图象按向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(h，k)}$平移后的函数解析式为${\displaystyle y－k=f(x－h)}$．

   评注:此题可进行如下变式：
    [变式1.1]已知${\displaystyle \overrightarrow{i}、\overrightarrow{j}}$是x、y轴正方向的单位向量，设${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x－\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}，\overrightarrow{b}=(x+\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}$，且满足${\displaystyle |\left|\overrightarrow{a}\right|－|\overrightarrow{j}||=2}$，求点P(x，y)的轨迹C的方程．
    (提示：轨迹为双曲线)
    [变式1.2]已知${\displaystyle \overrightarrow{i}、\overrightarrow{j}}$是x、y轴正方向的单位向量，设${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x－\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}，\overrightarrow{b}=(x+\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}$，且满足${\displaystyle \overrightarrow{b}•\overrightarrow{i}=\left|\overrightarrow{a}\right|}$，求点P(x，y)的轨迹C的方程．
    (提示：设${\displaystyle K(－\sqrt{3}，0)、F(\sqrt{3}，0)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{b}•\overrightarrow{i}}$表示${\displaystyle \overrightarrow{KP}}$在x轴上的射影，即点P到x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$的距离比为1，故点P的轨迹是以${\displaystyle (\sqrt{3}，0)}$为焦点，以x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$为准线的抛物线)
    [变式1.3]已知${\displaystyle \overrightarrow{i}、\overrightarrow{j}}$是x、y轴正方向的单位向量，设${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x－\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}，\overrightarrow{b}=(x+\sqrt{3})\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}$，且满足${\displaystyle \overrightarrow{b}•\overrightarrow{i}=\lambda \left|\overrightarrow{a}\right|}$，求点P(x，y)的轨迹C的方程．
    (提示：设${\displaystyle K(－\sqrt{3}，0)、F(\sqrt{3}，0)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{b}•\overrightarrow{i}}$表示${\displaystyle \overrightarrow{KP}}$在x轴上的射影，即点P到x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$的距离比为${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{i}}=\frac{1}{\lambda }}$，当0<${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$<1时，点P的轨迹是以${\displaystyle (\sqrt{3}，0)}$为焦点，以x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$为相应准线的椭圆；当${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$>1时，点P的轨迹是以${\displaystyle (\sqrt{3}，0)}$为焦点，以x=－${\displaystyle \sqrt{3}}$为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支，${\displaystyle \lambda }$应满足什么条件?)
    [变式1.4]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足${\displaystyle \overrightarrow{KP}•\overrightarrow{KF}=\left|\overrightarrow{PF}\right|\left|\overrightarrow{KF}\right|}$，求点P(x，y)的轨迹C的方程．
    (提示：以F为焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)
    [变式1.5]已知平面上两定点K、F，P为一动点，满${\displaystyle \overrightarrow{KP}•\overrightarrow{KF}=\lambda \left|\overrightarrow{PF}\right|}$，求点P(x，y)的轨迹C的方程．
    (提示：以F为焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线)．
　

    解:(1)如图，(1)设D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)，M(x，y)．
    由${\displaystyle \overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}}$，${\displaystyle \overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}}$，知(x_D－2，y_D－1)=t(－2，－2)，
    ∴${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_D=－2t+2\\ y_D=－2t+1\end{array}}$同理${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_E=－2t\\ y_E=2t－1\end{array}}$，
    ∴${\displaystyle k_{DE}=\frac{y_E－y_D}{x_E－x_D}=\frac{2t－1－(－2t+1)}{－2t－(－2t+2)}=1－2t}$．
    ∵t∈[O，1]，∴${\displaystyle k_{DE}}$∈[－1，1]．
    (2)方法一：∵${\displaystyle \overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}}$，
    ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)－(－2t，4t^2－2t)．
    ∴${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=2(1－2t)\\ y={(1－2t)}^2\end{array}}$ ∴${\displaystyle y=\frac{x^2}{4}，即x^2=4y}$
    ∵t∈[0，1] ∴x=2(1－2t)∈[－2，2]．
    ∴所求轨迹方程为${\displaystyle x^2=4y}$，x∈[－2，2]．
    方法二：
    ${\displaystyle \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+t(\overrightarrow{OB}－\overrightarrow{OA})=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}}$，
    ${\displaystyle \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+t(\overrightarrow{OC}－\overrightarrow{OB})=(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}}$，
    ${\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}+t(\overrightarrow{OE}－\overrightarrow{OD})=(1-t)\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{OE}}$,
   
    设M点坐标为(x，y)，由${\displaystyle \overrightarrow{OA}}$=(2，1)，${\displaystyle \overrightarrow{OB}}$=(0，－1)，${\displaystyle \overrightarrow{OC}}$=(－2，1)，得
    ∴${\displaystyle \{\begin{array}{l}x={(1－t)}^2•2+2(1－t)t•O+t^2•(－2)=2(1－2t)，\\ y={(1－t)}^2•1+2(1－t)t•(－1)+t^2•1={(1－2t)}^2，\end{array}}$
    消去t得${\displaystyle x^2=4y}$，∵t∈[0，1] ∴x∈[－2，2]．
    故轨迹方程是${\displaystyle x^2=4y}$，x∈[－2，2]．.

   评注:由于向量与平面解析几何都具有数与形相结合的特性，因此通常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点．平面向量和解析几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线、定比分点、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算 ．

    解:(1)记异面直线DE与${\displaystyle F{C}_1}$所成的角为${\displaystyle \alpha }$，
    则${\displaystyle \alpha }$等于向量${\displaystyle \overrightarrow{DE}与\overrightarrow{F{C}_1}}$的夹角或其补角，
    ∴${\displaystyle cos\alpha =\left|\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{F{C}_1}}{\left|\overrightarrow{DE}\right|\left|\overrightarrow{F{C}_1}\right|}\right|}$
    ${\displaystyle =\left|\frac{(\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}E})•(\overrightarrow{F{B}_1}+\overrightarrow{B_1{C}_1})}{\left|\overrightarrow{DE}\right|\left|\overrightarrow{F{C}_1}\right|}\right|}$
    ${\displaystyle =\left|\frac{－2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}\right|=\frac{2}{5}}$
    ∴${\displaystyle \alpha =arc\frac{cos2}{5}}$
    (2)如图，建立空间坐标系D—xyz．
   
    则${\displaystyle \overrightarrow{DE}=(1，0，2)，\overrightarrow{DB}=(2，2，0)}$．
    设面EFBD的法向量为，${\displaystyle \overrightarrow{n}=(x，y，1)}$．
    由${\displaystyle \{\begin{array}{l}\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{DB}•\overrightarrow{n}=0\end{array}}$，
    得${\displaystyle \overrightarrow{n}=(－2，2，1)}$．
    又${\displaystyle \overrightarrow{B{C}_1}=(－2，0，2)}$，记${\displaystyle B{C}_1}$和面EFBD所成的角为${\displaystyle \theta }$，
    则
    ∴${\displaystyle B{C}_1}$和面EFBD所成的角为${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$．
    (3)点${\displaystyle B_1}$到面EFBD的距离d等于向量${\displaystyle \overrightarrow{B{B}_1}}$在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
    ∴${\displaystyle d=\frac{|\overrightarrow{B{B}_1}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{1}{3}}$.

   评注:本题注重基础知识、基本技能的训练，同时加强探究意识．利用向量解、证立体几何问题的思想方法是：将有关的线段与相应的线段联系起来，并用已知量表示未知量，通过向量的运算进行计算或证明，从而达到解决问题的目的．