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要点归纳 一、向量的基本知识 1．向量的概念 向量是区别于数量的一种量，它由大小和方向两个因素确定，向量有三种表示法：一是用有向线段来表示；二是用字母`vec(a)`或`vec(AB)`来表示；三是用坐标`vec(a)`=(x，y)来表示．注意共线向量(也称平行向量，方向相同或相反的向量)与相等向量(方向相同且模相等)的联系与区别． 2．向量的运算 向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种．注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律． 3．向量的定理及相关性质 (1)两个非零向量平行的充要条件 `vec(a)∥vec(b) hArr vec(a)=lambda vec(b)(lambda∈R)`， 设`vec(a)=(x_1，y_1)，vec(b)=(x_2，y_2)`， 则`vec(a)∥vec(b) hArr x_1y_2－x_2y_1=0`． (2)两个非零向量垂直的充要条件 `vec(a)_|_vec(b) hArr vec(a)·vec(b)=0`． 设`vec(a)=(x_1，y_1)，vec(b)=(x_2，y_2)`，则`vec(a)_|_vec(b) hArr x_1x_2+y_1y_2=0`． (3)向量基本定理 ①平面向量的基本定理：如果有`vec(e_1)，vec(e_2)`是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量`vec(a)`，有且只有一对实数`lambda_1、lambda_2`使`vec(a)=lambda_1vec(e_1)+lambda_2vec(e_2)`． ②空间向量的基本定理：如果三个向量`vec(a)、vec(b)、vec(c)`不共面，那么对空间任一向量`vec(p)`，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使`vec(p)=x vec(a)+y vec(b)+z vec(c)`． (4)共线与共面定理 ①三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数`alpha、beta`，使`vec(OA)=alpha vec(OB)+beta vec(OC)`，其中`alpha+beta`=1，O为平面内的任一点． ②空间中有四个点P、A、B、C共面的充要条件是：存在实数x、y、x，使`vec(OP)=xvec(OA)+y vec(OB)+Z vec(OC)`，其中x+y+x=1，O为空间中任一点． 4．常用公式及结论 (1)向量模的公式 设`vec(A)`=(x，y，x)，则`|vec(A)|=sqrt(x^2+y^2+x^2)`． (2)两点问的距离公式 |vec(P_1P_2)|=sqrt((x_2－x_1)^2+(y_2－y_1)^2+(z_2－z_1)^2)， 其中`P_1(x_1，y_1，z_1)，P_2(x_2，y_2，z_2)`． (3)线段的定比分点坐标公式 `{(x=(x_1+lambda x_2)/(1+lambda)),(y=(y_1+lambda y_2)/(1+lambda),(z=(z_1+lambda z_2)/(1+lambda)):}` 其中`P_1(x_1，y_1，z_1)，P_2(x_2，y_2，z_2)，P(x，y，x)，vec(P_1P)=lambda vec(PP_2)`． (4)中点坐标公式 `{(x_0=(x_1+x_2)/2),(y_0=(y_1+y_2)/2),(z_0=(z_1+z_2)/2):}`，或`vec(OM)=1/2(vec(OA)+vec(OB))`， M(x_0，y_0，x_0)是线段AB的中点， 其中`A(x_1，y_1，z_1)，B(x_2，y_2，z_2)`． (5)两向量的夹角公式 `cos theta=(vec(a)•vec(b))/(|vec(a)||vec(b)|)=(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)/(sqrt(x_1^2+y_1^2+z_1^2)•sqrt(x_2^2+y_2^2+z_2^2))` 其中0°≤`theta`≤180°，`vec(a)=(x_1，y_1，z_1)，vec(b)=(x_2，y_2，z_2)`． (6)图形平移公式 若点P(x，y)按向量`vec(a)=(h，k)`平移至`P'(x'，y')`，则 `{(x'=x+h),(y'=y+k):}`． (7)有关向量模的常用结论 ①`|vec(a)|^2=vec(a)•vec(a)=vec(a)^2` ， ②`|vec(a)±vec(b)|^2=(vec(a)±vec(b))^2=|vec(a)|^2±2 vec(a)•vec(b)+|vec(b)|^2`； ③`|vec(a)•vec(b)|≤|vec(a)|•|vec(b)|，||vec(a)|－|vec(b)||≤|vec(a)±vec(b)|≤|vec(a)|＋|vec(b)|`． 二、向量学科内综合运用 1．平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或 垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种： (1)利用向量平行或垂直的充要条件； (2)利用向量数量积的公式和性质． 2．平面向量与解析几何的综合运用 由于向量既能体现“形"的直观位置特征，又具有“数"的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带．而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点． 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题的基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．主要包括以下三种题型： (1)运用向量共线的充要条件处理解析几何中有关平行、共线等问题； (2)运用向量的数量积处理解析几何中有关长度、角度、垂直等问题； (3)运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质． 3．空间向量和立体几何知识的整合 用向量知识解证立体几何问题，常常比用几何法简便，其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运算繁多的定理、公理等进行推理的思维过程．在立体几何中求空间角、空间距离及处理垂直关系显得尤为方便． |
| 典型案例 (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
1、已知向量`vec(a)=(sin
theta，1)，vec(b)=(1，cos theta)，－pi/2<theta<pi/2`．
2、 设函数`f(x)=vec(a)•vec(b)`，其中向量`vec(a)=(2 cosx，1)，vec(b)=(cosx，sqrt(3)sin2x)，x∈R`． (1)若`f(x)=1－sqrt(3)，且x∈[－pi/3，pi/3]`，求x； (2)若函数y=2sin2x的图象按向量`vec(c)(m，n)(|m|<pi/2)`平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．
3、 已知`vec(i)、vec(j)`是x、y轴正方向的单位向量，设`vec(a)=(x－sqrt(3))vec(i)+yvec(j)，vec(b)=(x+sqrt(3))vec(i)+yvec(j)`，且满足`|vec(a)|+|vec(j)|=4`． (1)求点P(x，y)的轨迹C的方程； (2)如果过点Q(0，m)且方向向量为`vec(c)=(1，1)`的直线`l`与点P的轨迹交于A、B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值.
4、 如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1)；三动点D、E、M满足`vec(AD)=tvec(AB)`，`vec(BE)=tvec(BC)`，`vec(DM)=tvec(DE)`，t∈[0，1]． (1)求动直线DE斜率的变化范围； (2)求动点M的轨迹方程. 
5、 如图，在棱长为2的正方体`ABCD—A_1B_1C_1D_1`中，E、F分别是棱`A_1D_1、A_1B_1`的中点． (1)求异面直线DE与FC。所成的角； (2)求`BC_1`和面`EFBD`所成的角； (3)求`B_1`到面`EFBD`的距离. 
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思想感悟 1、用集合的概念解题； |