§1.1 集合的概念与运算

专题二排列、组合与概率统计的综合应用
　

网络结构

要点归纳

典型案例

应用训练

思想感悟

网络结构

    要点归纳
    一、处理排列组合应用题的规律
    1．两种思路：直接法、间接法．
    2．两种途径：元素分析法、位置分析法．
    3．对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列．弄清要完成什么样的事件是前提．
    4．基本题型及方法：捆绑法、插空法、错位法、分组分配法、均匀分组法、逆向思考法等．

    二、解答概率应用题的关键是弄清概念：

    等可能性事件、随机事件、互斥事件、对立事件、独立事件；灵活运用公式：加法公式、乘法公式．
    1．等可能性事件中概率P(A)＝ $\frac{m}{n} ， P (A) \in [0 ， 1]$
    2．互斥事件A、B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)：P(A)+P(B).特例： $B ＝ \bar{A} 时， P (A) + P (\bar{A}) ＝ 1$ ，即对立事件的概率和为1．
    3．相互独立事件A、B同时发生的概率P(A·B)＝P(A)P(B)．
    4．事件A在n次独立重复试验中恰好发生K次的概率 $P_{n} (K) = C_{n}^{k} P^{k} {(1 - P)}^{n - k} ，$ 其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式 ${[(1 - P) + P]}^{n}$ 展开的第K+1项．
    三、常用抽样方法
    1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法．
    2．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．
　

典型案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
　

1、(06全国高考，12)设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 …………………………………( )
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种

提示	示范
分别求出.
解:方法一：按分类计数原理作如下讨论： ①当card(AUB)＝2时，有 $C_{5}^{2}$ ＝10种方法． ②当card(AUB)＝3时，每一种情况有 $C_{2}^{1} 种拆分方法，则有 C_{5}^{3} \cdot C_{2}^{1} ＝ 20 ＝ 15$ 种方法． ③当card(AUB)＝4时，每一种情况有 $C_{3}^{1} 种拆分方法，则有 C_{5}^{4} \cdot C_{3}^{1} ＝ 15$ 种方法． ④当card(AUB)＝5时，则有 $C_{5}^{5} \cdot C_{4}^{1} ＝ 4 种方法．共计 10 + 20 + 15 + 4 ＝ 49$ 种方法．方法二：按分类计数原理作如下讨论： ①当A中最大的数为1时，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有2^4-1＝15种方法． ②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{l，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有 $2 \times (2^{3} - 1) ＝ 14$ 种方法． ③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1，3}，{2，3)，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有 $4 \times (2^{2} - 1) ＝ 12$ 种方法． ④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4)，{l，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有 $8 \times 1$ ＝8种方法．共计15+14+12+8＝49种方法．答案：B 评注:排列、组合经常以集合为知识背景进行考查，这时不仅要求会排列、组合的知识，还要求熟悉集合知识，经常要用分类或分步的方法去计算，把握好分类标准能简化计算．

    2、设(06辽宁高考，18)甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为o．6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
   (1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
   (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．

提示

示范

解:(1)甲班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为

C_{2}^{1} \times 0 ． 6 \times 0 ． 4 ＝ 0 ． 48 ，

乙班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为

C_{2}^{1} \times 0 ． 6 \times 0 ． 4 ＝ 0 ． 48 ，

故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率
为

P = 0 ． 48 \times 0 ． 48 = 0 ． 2304 ．

(2)方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为

0 ． 4^{4} ＝ 0 ． 0256 ，

故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为

P ＝ 1 - 0 ． 0256 ＝ 0 ． 9744 ．

方法二：甲、乙两班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为

C_{4}^{1} X 0 ． 6 X 0 ． 4^{3} ＝ 0 ． 1536 ，

甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为

C_{4}^{2} X 0 ． 6^{2} X 0 ． 4^{2} ＝ 0 ． 3456 ，

甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为

C_{4}^{3} X 0 ． 6^{3} X 0 ． 4 ＝ 0 ． 3456 ，

甲、乙两班有4名参赛同学成绩都及格的概率

为 $0 ． 6^{4} ＝ 0 ． 1296 ．$
故甲、乙两班有参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为P=0．153 6+0．345 6+0．3456+0．129 6＝0．974 4．
　

评注: 本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力．

3、

下 表 是 某 班 英 语 及 数 学 成 绩 的 分 布 表 ， 已 知 该 班 有 50 名 学 生 ， 成 绩 分 l 至 5 五 个 档 次 ， 如 ： 表 中 所 示 英 语 成 绩 为 4 分 ， 数 学 成 绩 为 2 分 的 学 生 有 5 人 ． 现 设 该 班 任 意 一 位 学 生 的 英 语 成 绩 为 m ， 数 学 成 绩 为 n ．

n m		数学
		5	4			3	2	1
英语	5	1		3	1		0	1
	4	1		0	7		7	1
	3	2		1	0		9	3
	2	1		b	6		0	a
	1	0		0	1		1	3

     (1)求m＝4，n＝3的概率；
     (2)求在m≥3的条件下，n＝3的概率；
     (3)求a+b的值，并求m的数学期望；
     (4)若m＝2与n＝4是相互独立的，求a、b的值．

提示

示范

C_{U} .

解:
(1)由表知英语4分，数学3分的学生有7人，总学生数是50人，.:所求概率为

\frac{7}{50}

．
(2)在m≥3的条件下，即英语成绩在3分及3分以上的学生为总体，总体数是35人，又n＝3的学生数为l+7＝8，
.:所求概率为

\frac{8}{35} .

(3)总学生数是50，表中标出学生总数是47人，
.:a+b=50-47=3

E m = 5 \times \frac{1 + 3 + 1 + 0 + 1}{50} + 4 \times \frac{1 + 0 + 7 + 5 + 1}{50} + 3 \times \frac{2 + 1 + 0 + 9 + 3}{50} + 2 \times \frac{1 + b + 6 + 0 + a}{50} + 1 \times

$\frac{0 + 0 + 1 + 1 + 3}{50} = \frac{78}{25}$
(4).:m=2或n=4相互独立，
$∵ P (m = 2) \cdot P (n = 4) = P (m = 2, n = 4), 即 \frac{1 + b + 6 + a}{50} \cdot \frac{3 + 1 + b}{50} = \frac{b}{50} . 得 b = 1, a = 2 .$

评注:应用概率与统计知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体．

    4、中、日、韩三国围棋赛共有64位选手参加，比赛采用单淘汰赛，每轮淘汰一半选手，第一轮被淘汰的选手可获出场费l万元，第2轮被淘汰的选手可获2万元，…，第K轮被淘汰的选手可获R万元，而冠军可获10万元．
   (1)本次比赛共需要出场费多少元?
   (2)设比赛场地有500个坐位，每轮上座率为80％，第一轮比赛的门票每张a元，(第一轮比赛的64位选手在该场地同时比赛，以下类推)第二轮比赛的门票每张2a元，…，第K轮比赛的门票每张为

2^{k - 1} \times a

。元；另有赞助收入104．8万元，要使比赛不亏本(门票与赞助收入之和不小于付出的出场费)，第一轮门票价格a应如何确定?
(3)若冠、亚军决赛在甲、乙中进行，比赛采用五局三胜制，规定谁胜三局，即为冠军．比赛结束，已知每局甲胜的概率是1/3，乙胜的概率是2/3，若至多4局结束比赛，则甲获胜的概率是多少?

提示

示范

    解:
    (1)共需出场费y＝32X1+16X 2+8X 3十4X 4+2X 5十1X 6+10＝130(万元)．
    (2)门票收入为500X80％X(a+2a十2^2a+…+2^5a)＝400X 63a．依题意2．52a+104．8≥130， a≥10．
第一轮比赛门票至少每张10元。
   (3)三局结束比赛且甲获胜的概率是：1/3xx1/3xx1/3＝1/27，四局结束比赛且甲获胜的概率

是C_3^1xx(1-1/3)xx(1/3)^2xx1/3=2/27
.:至多四局结束比赛且甲胜的概率是1/27+2/27＝1/9．

评注:(1)本题既考查了概率的知识，同时又考查了数列、不等式的知识，概率与其他章节内容的整合是高考的必然趋势．这就要求学生对各章节的内容非常熟悉，同时要求学生思路清晰，能把握住什么时候该用什么知识．
(2)注意本题(3)中甲3:1获胜时，必须是甲胜第4局，故不能认为它的概率是 $C_{4}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot (\frac{2}{3})$ ．但前3局中甲胜哪两局都行，可以看作在3次独立重复试验中发生2次的概率．因此也可这样列式：
$C_{3}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

应用训练(1)

     1.(07成都高三摸底)来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为3/5, 且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去侯祠游览的概率为(    )

A ． \frac{36}{125} B ． \frac{44}{125} c ． \frac{54}{125} D ． \frac{98}{125}

2.一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为………（）

A ． \frac{16}{117} B ． \frac{32}{117} C \frac{.8}{39} D, \frac{16}{39}

3.设两个独立事件A和B均不发生的概率为1/9，A发生B 不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是 ………………( )

A \frac{.2}{9} B \frac{.1}{18} C \frac{.1}{3} D ． \frac{2}{3}

     4.(06北京高考，3)在1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）
     A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
    5. 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站(n>1)，则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与从乙站到甲站需要两种不同的车票)，那么原有的车站有（）
     A.12个 B.13个 C.14个 D.15个
    6.（06上海高考，9）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本，将它们任意地排成
一排，左边4本恰好都属于同一部小说了概率是____________(结果用分数表示)
    7.（06上海高考，10）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________．
    8. 现有甲、乙、丙三人独立解某道数学题，已知这道题他们三人同时解出的概率为0．18，甲独立解出的概率为0．5，乙、丙两人独立解出该道题的概率相同．
   (1)求乙独立解出该道题的概率；
   (2)求解出该题的人数

ξ

的数学期望．

　

应用训练(2)

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