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一、考纲展示 1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2、了解数列极限和函数极限的概念． 3、掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4、了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 5、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 6、熟记基本导数公式．掌握两个函数和、差、商的求导法则．了解复合函数的求导法则．会求某些简单函数的导数． 7、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． |
专题结构 |
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命题特点 数列的极限在中学数学与高等数学中起着衔接作用，因而它是高考常考内容，多以选择、填空题形式出现，也渗透到解答题中，命题方向逐步由用定义求极限，直接用极限的四则运算法则求极限这些单一考查方面向结合等差、等比数列的计算求极限，结合数列求和法求极限等一些综合考查过渡．函数极限是另一个高考热点，函数在无穷远处的极限，类似于数列的极限，而在`x=x_0`处的极限，计算它时有独特方法，比如`x=x_0`不在`f(x)`定义域时，往往先采用去零因子(约分)方法，再求极限，对于较为复杂的函数极限计算，可借助于函数极限的四则运算法则处理． 通过观察、分析等手段利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法去证明该结论也是高考常见题型之一，这里归纳、猜想、证明是不完全归纳法与完全归纳法的综合应用． 高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，这一直是高考常考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题．从而进一步地解决实际问题． ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点内容之一．函数`y=f(x)`在`x=x_0`处的导数，表示曲线在点`P(x_0,f(x_0))`处的切线斜率． ③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中占主导地位． |
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考点案例
一、数学归纳法
1、求下列数列的极限： (1)`lim_(n rarr oo)(1/(n^2+1)+2/(n^2+1)+…+n/(n^2+1));` (2)`lim_(n rarr oo)((3^n-(-2)^n)/(3^(n+1)+(-2)^(n+1)));` (3)`lim_(n rarr oo)((a+a^2+…+a^n)/(2+2^2+…+2^n))(a>0且a!=1)`
1、求下列函数的极限 (1)`lim_(x rarr oo)(x^2/(2x+1)-x^3/(2x^2-1))`; (2)`lim_(x rarr +oo)4^x/(4^x-1)`； (3)`lim_(x rarr 0)(sin^2x)/(1-cos^3x)`； (4)设`lim_(x rarr 1)(ax^2+bx+1)/(x-1)=3，求lim_(n rarr oo)(b^n+a^(n-1))/(a^n+b^(n-1))`
1、设`f(x)={((1-sqrt(1-x))/x(x<0)),(text{a+bx(x>=0)}):}`，当`a取何值时，函数f(x)`是连续的？
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方法感悟 1、在熟练运用四则运算法则的同时，注意理解法则的使用条件和适用范围． (1)数列极限的运算法则是在`lim_(n->oo)a_n、lim_(n->oo)b_n`都存在的条件下，否则会出现运算错误． (2)四则运算法则的实质是极限运算与四则运算的换序，即变量和、差、积、商的极限等于变量极限的和、差、积、商． (3)加、减、乘运算法则可由两个变量推广到三个以至有限个变量中去，但注意仅限于“有限个”，不能推广到无穷多项． 2、对于数列极限中：`oo/oo，oo•0，oo-oo，0/0`型的极限，解答的关键在于合理地运用恒等变形，使其转化为可解的形式． 3、函数`f(x)`当`x rarr oo时的极限与{a_n}当n rarr oo`时的极限不同，前者包括当`x rarr +oo`时的极限及当`x rarr -oo`时的极限，只有`lim_(x rarr +oo)f(x)=lim_(x rarr oo)f(x)`时，`lim_(x rarr oo)f(x)`的极限才存在．对于函数`f(x)当x rarr x_0的极限lim_(x rarr x_0)f(x)中0/0、0•0`型的极限，其关键也在于合理地运用恒等变形，如去分母`x-x_0`等． 4、判断函数在一点处连续的方法就是看是否满足在一点连续的三个条件： ①函数`f(x)在x=x_0`处是否有定义； ②` lim_(x rarr x_0)f(x)是否存在（存在条件lim_(x rarr x_0^-)f(x)= lim_(x rarr x_0^+)f(x)`）； ③` lim_(x rarr x_0)f(x_0)`是否成立． 当且仅当满足①②③条件时，f(x)在`x_0`处连续．连续函数的极限`lim_(x rarr x_0)f(x)=f(x_0)`． |