§12.1 概率与统计(理)

专题十一概率与统计（理）
§11.1 概率

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
     1、(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
        (2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．
     2、(1).了解互斥事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．
        (2)．了解独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
        (3)．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
    ３、(1).了解独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
        (2).会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
　

1、(求对立事件的概率) 有4位同学，每人头l张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数字相同的概率．

提示	示范
题中至少有两位同彩票号码的未位数字相同，包含多个互斥事件，而它的对立事件较简单，故可先计算它的对立事件的概率．
解:先求对立串件A的概率，A表示“4位同学所?买彩票的未位数字各不相同”，该事件，每人所买彩票的末位数字均有0，1．，2，…，9十种可能，故。基本事件的总数为10^4个，欲使末位数字全不相同，则第1位同学的末位数字有10种情况，第2位同学只能有9种，第3位同学有8种，第4位同学仅有7种，故P(A)=A^4_10/10^4=63/125 于是至少有两位同学的末位数字相同的概率为P(A)=1-P(A)=62/125．答：4人各买彩票一张，至少2人末位号码数字相同的概率为62/125．评注:求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算；④直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率。

2、(07江苏南通摸底)A、B、C三人在同一办公室工作,据统计知,打给A、B、C的电话的概率分别为｀2／5，2／5，1／5｀．他们三人常因工作外出，A、B、C三人外出的概率分别为

1 ／ 2 ， 1 ／ 4 ， l ／ 4 ．

设三人的行动相互独立．求
(1)无人接电话的概率；
(2)被呼叫人在办公室的概率．若某一时间段打进3个电话，求
(3)这3个电话打给同一个人的概率；
(4)这3个电话打给不相同的人的概率；
(5)这3个电话打来时，B都不在的概率．

提示

示范

解:

设 $A_{l} ， A_{2} ， A_{3}$ 分别表示电话打给的是A、B、C，
设 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 分别表示A，B，C在办公室.
因为三者行动独立,所以
(1) $P （（ {\bar{B}}_{1} ） \cdot （ {\bar{B}}_{2} ） \cdot （ {\bar{B}}_{3} ）） = (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4}) = \frac{1}{32}$

(2) $P (A_{1} \cdot B_{1} + A_{2} \cdot B_{2} + A_{3} \cdot B_{3})$

$= P (A_{1} \cdot B_{1}) + P (A_{2} \cdot B_{2}) + P (A_{3} \cdot B_{3})$

$= \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{13}{20}$

(3) $C_{i} (i = 1, 2, 3)$ 分别表示三个电话都打给的是ＡＢＣ，则

$P = P （ C_{1} + C_{2} + C_{3} ） = {(\frac{2}{5})}^{3} + {(\frac{2}{5})}^{3} + {(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{17}{125};$

（４）三个人电话打给不同的人一共有 $A_{3}^{3}$ 种情况，每种情况的概率是

$\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5}, ∵ P = A_{3}^{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{24}{125}$

（５）无论打给的电话是否是Ｂ，Ｂ不在办公室的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则３次都不在的概率是

$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64} .$
评注: 应用公式 $P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot \dots \dots A_{n}) = P (A_{l}) \cdot P (A_{2}) \cdot \dots \dots P (A_{n})$ 来解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提A_l,A_2,…… $A_{n}$ 这n个事件是相互独立的．

3、某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)

提示	示范
$记 “ 甲理论考核合格 ” 为事件 A_{1} ； “ 乙理论考核合格 ” 为事件 A_{2}, “ 丙理论考核合格 ’ ’ 为事件 A_{3}, 记 A 为 A_{i}$ 的对立事件， $i ＝ 1 ， 2 ， 3 ；记 “ 甲实验考核合格 ” 为事件 B_{1} ； “ 乙实验考核合格 ” 为事件 B_{2} ； “ 丙实验考核合格 ” 为事件 B_{3} \cdot (1) 记 “ 理论考核中至少有两人合格 ” 为事件 C ，记$ barC $为 C 的对立事件$
解: $P (C) ＝ P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3} + A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3} + A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3} + A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3})$ ＝ $P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3}) + P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3}) + P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3}) + P (A_{l} \cdot A_{2} \cdot A_{3})$ ＝ $0 ． 9 \times 0 ． 8 \times 0 ． 3 + 0 ． 9 \times 0 ． 2 \times 0 ． 7 十 0 ． 1 \times 0 ． 8 \times 0 ． 7 十 0 ． 9 \times O ． 8 \times 0 ． 7 = 0 ． 902$ (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D． $P (D) ＝ P [(A_{1} \cdot B_{1}) \cdot (A_{2} \cdot B_{2}) \cdot (A_{3} \cdot B_{3})]$ ＝ $P [(A_{1} \cdot B_{1}) \cdot P (A_{2} \cdot B_{2}) \cdot P (A_{3} \cdot B_{3})$ ＝ $P [(A_{1}) \cdot P (B_{1}) \cdot P (A_{2}) \cdot P (B_{2}) \cdot P (A_{3}) \cdot P (B_{3})$ $P (B_{3}) = 0 ． 9 \times 0 ． 8 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.9 ＝ 0.254016 \approx 0.254$ 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254．评注:

    4、今有强弱不同的10支球队，若把它们均分为两组进行比赛．分别计算：
    (1)两支最强的队被分到不同组内的概率；
    (2)两支最强的队恰在同一组内的概率．

提示	示范
利用组合数公式，确定出现结果的个数．
解:(1)10支球队均分为两组有 $\frac{1}{2} C^{5}_10$ 种分法而两支最强球队必分开有 $\frac{1}{2} C^{1}_2 C^{4}_8$ 种分法,“两最强队分开”的事件为A，则 $P (A) = \frac{1}{2} C^{1}_2 C^{4}_\frac{8}{1} / 2 C^{5}_10 = \frac{5}{9}$ (2) 记两支最强队分在同组为事件B,则B所包含的基本事件数为 $C^{2}_2 C^{3}_8 . 则 P (B) = C^{2}_2 C^{3}_\frac{8}{1} / 2 C^{5}_10 = \frac{4}{9}$ 评注:对均匀分组问题一定要分清组间是否有序，本题的基本事件是分法，即所分两组间是无序的，而不是求不同的组数，这一点是易被忽视而致错的．此外，就两个最强队而言，要么同组，要么不同组，二者必居其一，且仅居其一，所以它们的概率和为1．这也正是我们后面还要讲到的对立事件的概率问题

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

考能训练(1)

一、选择题：
1.已知集合A＝{12，14，16，18，20}，B＝{1l，13，15，17，19}，在A中任取一个元素

a_{i}

(i＝l，2，3，4，5)，在B中任取一个元素

b_{j}

(j＝l，2，3，4，5)，则所取两数

a_{i}, b_{j} 满 足 a_{i} > b_{j}

的概率为( )

A . \frac{3}{4} B \frac{.3}{5} C . \frac{1}{2} D \frac{.1}{5}

2.停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后,而恰有4个空位连在一起,这样的事件发生的概率为( )

A \frac{.7}{C^{8}}_12 B \frac{.8}{C^{8}}_12 C \frac{.9}{C^{8}}_12 D \frac{.10}{C^{8}}_12

.
3.甲乙两人约定在6到7时之间在某处会面，并且约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即不再等了，则两人能会上面的概率为( )

A \frac{.1}{4} B \frac{.1}{3} C \frac{.3}{4} D \frac{.7}{16}

    4：盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么盂等于(      )
     A．“恰有1只是坏的”的概率        B．“恰有2只是好的”的概率
     C．“4只全是好的”的概率          D．“最多2只是坏的”的概率
    5.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是

１ ／ ２

，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是(　　 )

A ． \frac{5}{16} B ． \frac{2}{5} C ． \frac{5}{8} D ． \frac{1}{32}

    二、填空题：
    6，某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率是________.(结果用分数表示)
    7.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_________.(结果用分数表示)
    三、解答题：
     8.某旅游地有甲、乙两个相邻景点，甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团．现甲、乙两景点各有一个外国旅游团交换景点观光．求甲景点恰有2个美国旅游团的概率．
     9.在某个流量较大的街道,有一中年人吆喝"送钱喽!"只见他手拿一黑色小布袋，袋中有且只有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、质地全相同)，旁边立一块小黑板上写着摸球方法：(1)若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；(2)若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱?
     10.一次数学测验共有10道选择题，每题都有四个选择肢，其中有只有一个是正确的，考生要求选出其中正确的选择肢，只准选一个错选择肢．评分标准规定：答对…题得4分。不答或答倒扣1分．某考生确定6道题是解答正确的；有3道题的各四个选择肢十可确定有1个不正确，因此该考生从余下的三个选择肢中各题分别猜选—个选择肢：另外有1题因为题目根本读不懂，只好孔猜．在上述情况下，试问：
    (1)该号生这次测试巾得20分的概率为多少?
    (2)该考牛这次测试十得30分的概率为多少.

参考答案：

一、选择题：
1.已知集合A＝{12，14，16，18，20}，B＝{1l，13，15，17，19}，在A中任取一个元素

a_{i}

(i＝l，2，3，4，5)，在B中任取一个元素

b_{j}

(j＝l，2，3，4，5)，则所取两数

a_{i}, b_{j} 满 足 a_{i} > b_{j}

的概率为( B )

A . \frac{3}{4} B \frac{.3}{5} C . \frac{1}{2} D \frac{.1}{5}

2.停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后,而恰有4个空位连在一起,这样的事件发生的概率为( C )

A \frac{.7}{C^{8}}_12 B \frac{.8}{C^{8}}_12 C \frac{.9}{C^{8}}_12 D \frac{.10}{C^{8}}_12

.
3.甲乙两人约定在6到7时之间在某处会面，并且约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即不再等了，则两人能会上面的概率为( D )

A \frac{.1}{4} B \frac{.1}{3} C \frac{.3}{4} D \frac{.7}{16}

    4：盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么盂等于(   B   )
     A．“恰有1只是坏的”的概率        B．“恰有2只是好的”的概率
     C．“4只全是好的”的概率          D．“最多2只是坏的”的概率
    5.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是

１ ／ ２

，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是(　A　 )

A ． \frac{5}{16} B ． \frac{2}{5} C ． \frac{5}{8} D ． \frac{1}{32}

    二、填空题：
    6，某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率是________.(结果用分数表示)
    答案：

\frac{119}{190}

7.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_________.(结果用分数表示)
答案：

\frac{5}{14}

    三、解答题：
     8.某旅游地有甲、乙两个相邻景点，甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团．现甲、乙两景点各有一个外国旅游团交换景点观光．求甲景点恰有2个美国旅游团的概率．
    答案：

\frac{1}{2}

     9.在某个流量较大的街道,有一中年人吆喝"送钱喽!"只见他手拿一黑色小布袋，袋中有且只有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、质地全相同)，旁边立一块小黑板上写着摸球方法：(1)若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；(2)若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱?
    答案：1200
     10.一次数学测验共有10道选择题，每题都有四个选择肢，其中有只有一个是正确的，考生要求选出其中正确的选择肢，只准选一个错选择肢．评分标准规定：答对…题得4分。不答或答倒扣1分．某考生确定6道题是解答正确的；有3道题的各四个选择肢十可确定有1个不正确，因此该考生从余下的三个选择肢中各题分别猜选—个选择肢：另外有1题因为题目根本读不懂，只好孔猜．在上述情况下，试问：
    (1)该考生这次测试中得20分的概率为多少?
    (2)该考生这次测试中得30分的概率为多少.
    答案：

(1) \frac{2}{9} (2) \frac{5}{18}

方法感悟
1、事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，事件互斥是指两个不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。前者是指同一次试验中的两事件不能同时发生，而两个相互独立事件是指在不同试验下的，二者互不影响，两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。

2、独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行一种试验，在这种试验中，每一次试验的结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的，在n次独立重复试验中某事件发生K次的概率: $P_{n} (k) = C_{n}^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ,其中P是1次试验中某事件发生的概率， $C_{n}^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ 正好是二项式 ${[(1 - p) + p]}^{n}$ 的展开式中的第k+1项，因此这个概率分布也叫二项分布。
　

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