§1.1 集合的概念与运算

专题十一概率与统计
　

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事们：概率的意义．
    2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．
    3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算——些事件的概率．
    4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
    5.了解简单随机抽样，了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样。
    6.会用样本频率分布估计总体分布．
    7.会用样本估计总体期望值和方差．

    考点案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、（随机事件的概率）图腾公司的高铭和高健终于攻克了技术的难关，兴奋之际就迫不及待地向王总打电话，但又不知工总的详细手机号码．仅知王总的两个手机中，一个以139开头，其余8位由5或8组成；另—个是小灵通，由3个8和2个2，2个6共7位数组成．两人分工，各自针对王总的一个手机号码的特征，一个一个地拨打．请从概率角度分析，最有可能先拨通王总的哪个手机?

提示	示范
分别求出.
解: 设拔一次接通移动号码的概率为`P_1`，拨小灵通号码的概率为`P_2`． `P_1=1/(C_8^0+C_8^1+C_8^2+…………+C_8^8)=1/2^8=1/256` `P_2=1/(C_7^3C_4^2C_2^2)=1/210` `.:P_1<P_2` 小灵通最有可能称接通。评注:先由排列组合算出的总的方法数，方法数越多，概率越小。

    2、(2006年高考浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红
球，n个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．
   (1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
   (2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为3/4，求n．

提示	示范
将题中.
解:(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A。 P（A）=`C_2^2/C_4^2XXC_2^2/C_5^2=1/6XX1/10=1/60` (2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4 个球只有1个红球”为事件`B_1，“取到的4个球全是白球为事件B_2．` 由题意，得`P(B)＝1-3/4=1/4` `P(B_1)=(C_2^1C_2^1)/C_4^2xxC_n^2/C_(n+2)^2+C_2^2/C_4^2xxC_2^1C_n^1/C_(n+2)^2` `=2n^2/(3(n+2)(n+1))` `P(B_21)=C_2^2/C_4^2xxC_n^2C_n^1/C_(n+2)^2 `=n(n-1)/(6(n+2)(n+1))` 所以 ` P(B)＝P(B_1)+P(B_2)=2n^2/(3(n+2)(n+1))+n(n-1)/(6(n+2)(n+1))=1/4` 化简，得7n^2-11n-6=0 解得n=2或 n=-3/7(舍去) 故得n=2 评注: 对于互斥事件和对应事件应分清它们的区别和联系，再进行正确的求解。

    3、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第—
次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是`2/3`
   (1)求油罐被引爆的概率；
   (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为`xi，求xi不小于4的概率．`

提示	示范
`C_U.
解: (1)油罐被引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没击中，故该事件的概率为` C_5^1·2/3·(1/3)^4+(1/3)^5，` 所以所求事件的概率为`l-[C_5^1·2/3·(1/3)^4+(1/3)^5]=232/243` (2)当`xi＝4时记为事件A，则当xi=5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记` 为事件B，`则P(B)=C_4^1·2/3·(1/3)^3+(1/3)^4=1/9 ，所以所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=4/27+1/9=7/27` 评注:应用n次独立重复试验的概率公式时，一定要审清是多少次试验中发生K次的事件。

    4、对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(米／秒)的数据如下：
    甲：27，38，30，37，35，31；
    乙：33，29，38，34，28，36．
    根据以上数据，试判断他们谁更优秀．

提示	示范
集合中的.
解:`barX_甲=1/6(27+38+30+37+35+31)=198/6=33` `barX_乙=1/6(33+29+38+34+28+36)=198/6=33` `S_甲^2=1/5[(27-33)^2+(38-33)^2+(30-33)^2+(37-33)^2+(35-33)^2+(31-33)^2]` `=1/5xx94=18.8` `S_乙^2=1/5[(33-33)^2+(29-33)^2+(38-33)^2+(34-33)^2+(28-33)^2+(36-33)^2]` `=1/5xx9476=15.2` `.:barX_甲=barX_乙 , S_甲^2>S_乙^2` 评注:（1）虽然甲乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．（2）`S^2与S^2`作为总体方差的两个估计量，当样本容量不大时，`S^2比S^2更接近口sigma^2，`故在实际运用时，我们`S^2去估计sigma^2，但当容量较大时，S^2与S^2则没有`什么差别。

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

考能训练(1)

    一.选择题
    1.(04重庆高考，11)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡外形与功率都相同且灯口向下放着，现在需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（）
    ` A.21/45 B.17/40 C.3/10 D.7/120`
    2.（04湖南高考，5）某公司甲，乙，丙，丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的情况，需要从这600个销售点中抽取一个容量为100个的样本，记这项调查为（1）：在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为（2）完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（    ）
   A．分层抽样法，系统抽样法           B．分层抽样法，简单随机抽样法
   C．系统抽样法，分层抽样法           D.简单随机抽样法，分层抽样法
    3.(05山东高考，9理)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是（）
     ` A. 3/10 B. 1/12 C. 1/2 D. 11/12 `
     4.一块各面均涂有油漆的正方体，被锯成1 000个同样大小的正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，则任
意取出一小正方体恰有两面涂有油漆的概率是…( )
    ` A. 12/125 B. 3/25 C. 14/125 D. 48/125 `
    5.(05湖北黄冈模)袋中有红球3个，白球3个，任抽取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不能再取了．若每取一次可以得到10元，那么可得到金额的期望值为…………( )
    A．30元 B．20元 C．17．5元 D．13．75元
    二、填空题
    6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为___________。
    7.若随机变量xi的概率密度函数f(x)=
`{(0,x<1),(text{x+a,1<=x<=2},if xin(-oo,+oo时,f(x)>=0)),({0},x>2):}`那么常数a=___________________.
    三.解答题
    8.（04全国高考。20）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则夫规定：答对第一，二，三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别0.8，0.7，0．6，且各题答对与否相互之间不影响。
   (1)求这名同学得300分的概率。
   (2)求这名同学至少得300分的概率。
    9.（06江苏南通调研）在一次军事演习中，某定同时出动了甲乙丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是`3/4；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为去1/12；`乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是`1/4`
    (1)求乙、丙各自击中目标的概率；
    (2)求目标被击中的概率．
     10.(05北京西城模拟)假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0．2，若一周5个下作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元．求：
   (1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字)；
   (2)一周5个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)．

参考答案

     一.选择题
    1.(04重庆高考，11)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡外形与功率都相同且灯口向下放着，现在需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ D ）
    ` A.21/45 B.17/40 C.3/10 D.7/120`
    2.（04湖南高考，5）某公司甲，乙，丙，丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的情况，需要从这600个销售点中抽取一个容量为100个的样本，记这项调查为（1）：在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为（2）完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（  B ）
   A．分层抽样法，系统抽样法           B．分层抽样法，简单随机抽样法
   C．系统抽样法，分层抽样法           D.简单随机抽样法，分层抽样法
    3.(05山东高考，9理)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率是（ D ）
     ` A. 3/10 B. 1/12 C. 1/2 D. 11/12 `
    4.一块各面均涂有油漆的正方体，被锯成1 000个同样大小的正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，则任
意取出一小正方体恰有两面涂有油漆的概率是…( A )
    ` A. 12/125 B. 3/25 C. 14/125 D. 48/125 `
    5.(05湖北黄冈模)袋中有红球3个，白球3个，任抽取一球确认颜色后放回袋中，最多可以取3次，但是取到红球后就不能再取了．若每取一次可以得到10元，那么可得到金额的期望值为…………( C )
    A．30元 B．20元 C．17．5元 D．13．75元
    二、填空题
    6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为___________。
    答案：`3/7`
    7.若随机变量xi的概率密度函数f(x)=
`{(0,x<1),(text{x+a,1<=x<=2},if xin(-oo,+oo时,f(x)>=0)),({0},x>2):}`那么常数a=___________________.
    答案：`-1/2`
    三.解答题
    8.（04全国高考。20）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则夫规定：答对第一，二，三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别0.8，0.7，0．6，且各题答对与否相互之间不影响。
   (1)求这名同学得300分的概率。
   (2)求这名同学至少得300分的概率。
    答案：
    9.（06江苏南通调研）在一次军事演习中，某定同时出动了甲乙丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是`3/4；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为去1/12；`乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是`1/4`
    (1)求乙、丙各自击中目标的概率；
    (2)求目标被击中的概率．
    答案：
     10.(05北京西城模拟)假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0．2，若一周5个下作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元．求：
   (1)一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率(保留两位有效数字)；
   (2)一周5个工作日内利润的期望(保留两位有效数字)．
    答案：

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