解:(1)`.:vec(c)"//"vec(BC)`，`vec(BC)=(-2，-1，2)`
    设`vec(c)=(-2lambda，-lambda，2lambda)`
    `|vec(c)|=sqrt((-2lambda)^2+(-lambda)^2+(2lambda)^2+)=3|lambda|=3`
    `:.lambda=+-1`
    `:.vec(c)=(-2，-1，2)`或`vec(c)=(2，1，-2)`
    

    (2)`vec(a)=(-1+2，1-0，2-2)=(1，1，0)`
    `vec(b)=(-3+2，0-0，4-2)=(-1，0，2)`
    `:.cos<vec(a)，vec(b)> =(vec(a)·vec(b))/(|vec(a)||vec(b)|)`
    `=((1，1，0)·(-1，0，2))/((sqrt(2)xxsqrt(5))`
    `=-sqrt10/10`
    `:.vec(a)`和`vec(b)`的夹角为`pi-arc cos(sqrt10/10)`
　

    (3)`kvec(a)+vec(b)=(k-1，k，2)`

    `kvec(a)-2vec(b)=(k+2，k，-4)`

    `:.(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k^2-8=0`

    解得`k=-5/2`或`k=2`

    评注:对于空间向量的平行、垂直与夹角，可联系平面向量进行研究．

    解:方法一：(1)由`AD"//"D_1G`知`/_C_1GD_1`为异面直线`AD`与`C_1G`所成的角    

连结`C_1F`，因为`AE`和`C_1F`分别是平行平面`ABB_1A_1`和`C C_1D_1D`与平面`AEC_1G`的交线     `:.AE"//"C_1F`，由此得`D_1F=BF=sqrt3`，再由`△FD_1G~△FDA`     `:.D_1G=sqrt3`     在`Rt△C_1D_1G`中，由`C_1D_1=1`得`/_C_1GD_1=pi/6` 　     (2)作`D_1H_|_C_1G`于`H`，由三垂线定理知`FH_|_C_1G`     `:./_D_1HF`为二面角`F-C_1G-D_1`即二面角`A-C_1G-A_1`的平面角     在`Rt△HD_1G`中，由`D_1G=sqrt3`，`/_HGD_1=pi/6`得`D_1H=sqrt3/2`     `tan/_HD_1G=(D_1F)/(D_1H)=(sqrt3)/(sqrt3/2)=2`

    方法二：如图，以`A_1`为坐标原点 ，`A_1B_1`、`A_1D_1`、`A_1A`所在直线分别为`x、y、z`轴，建立空间直角坐标系，于是`A(0，0，sqrt3+1)`，`C_1(1，1，0)`，`D(0，1，sqrt3+1)`，`E(1，0，1)`   

(1)`:.vec(AD)=(0，1，0)`，`vec(EC_1)=(0，1，-1)`     `.:EC_1`和`AF`分别是平行平面`BB_1C_1C`和`A A_1D_1D`与平面`AEC_1G`的交线     `:.EC_1"//"AF`     设`G(0，y，0)`，则`vec(AG)=(0，y，-sqrt3-1)`            由`EC_1"//"AG`得`-1/y=(-1)/(-sqrt3-1)`，于是`y=sqrt3+1`     `:.G(0，sqrt3+1，0)`，则`vec(C_1G)=(-1，sqrt3，0)`     设异面直线`AD`与`C_1G`所成的角的大小为`theta`，则     `:.cos<vec(AD)，vec(C_1G)> =(vec(AD)·vec(C_1G))/(|vec(AD)||vec(C_1G)|)=sqrt3/2`     `:.theta=pi/6` 　     (2)作`A_1H_|_C_1G`交`GC_1`的延长线于`H`，由三垂线定理知`AH_|_GH`     `:./_AHA_1`为二面角`A-C_1G-A_1`的平面角     设`H(a，b，0)`，则`vec(A_1H)=(a，b，0)`，`vec(C_1H)=(a-1，b-1，0)`     由`A_1H_|_C_1G`得`vec(A_1H)·vec(C_1G)=0`     由此得`a-sqrt3b=0`                            ①     又由`H、C_1、G`共线得`vec(C_1H)"//"vec(C_1G)`     从而`(a-1)/(-1)=(b-1)/sqrt3`，于是`sqrt3a+b-(sqrt3+1)=0`     ②     联立①和②得`a=(sqrt3+3)/4`，`b=(sqrt3+1)/4`     `:.H((sqrt3+3)/4，(sqrt3+1)/4，0)`     由`|vec(A_1H)|=sqrt(((sqrt3+3)/4)^2+((sqrt3+1)/4)^2)=(sqrt3+1)/2`，`|vec(A_1A)|=sqrt3+1`     得`tan/_AHA_1=|vec(A_1A)|/|vec(A_1H)|=(sqrt3+1)/((sqrt3+1)/2)=2`

    评注:利用向量求空间角，关键在于利用向量表示出空间角，借助向量进行计算．

    (1)求异面直线所成的角：设表示两条直线的向量为`vec(n_1)`与`vec(n_2)`，且`vec(n_1)`与`vec(n_2)`之间的夹角为`theta`．若`theta`为锐角，则两条异面直线所成的角为`theta`；若`theta`为钝角，则两条异面直线所成的角`pi-theta`；
　

    (2)求直线与平面所成的角：求斜线与平面所成角可采用如下方法：设表示斜线的一个向量为`vec(n_1)`，表示平面的一个法向量为`vec(n_2)`，且`vec(n_1)`与`vec(n_2)`之间的夹角为`theta`．若`theta`为锐角，则斜线与平面所成的角为`pi/2-theta`，若`theta`为钝角，则两条异面直线所成的角为`theta-pi/2`；
　

    (3)求二面角：设`vec(n_1)`是平面`alpha`的法向量，`vec(n_2)`是平面`beta`的法向量．

    ①若两个平面的二面角如图(1)所示的示意图，则`vec(n_1)`与`vec(n_2)`之间的夹角就是欲求的二面角；

    ②若两个平面的二面角如图(2)所示的示意图，设`vec(n_1)`与`vec(n_2)`之间的夹角为`theta`，则两个平面的二面角为`pi-theta`．

    解:方法一：(1)不妨设正三角形`ABC`的边长为`3`

证明：在图(1)中，取`BE`的中点`D`，连结`DF`     `.:AE:EB=CF:FA=1:2`     `:.AF=AD=2`，而`/_A=60°`     `:.△ADF`是正三角形     又`AE=DE=1`     `:.EF_|_AD`     在图(2)中，`A_1E_|_EF`，`BE_|_EF`     `:./_A_1EB`为二面角`A_1-EF-B`的平面角     由题设条件知此二面角为直二面角     `:.A_1E_|_BE`     又`BEnnEF=E`     `:.A_1E_|_`平面`BEF`，即`A_1E_|_`平面`BEP` 　     (2)在图(2)中，`.:A_1E`不垂直于`A_1B`     `:.A_1E`是平面`A_1BP`的斜线     又`A_1E_|_`平面`BEP`     `:.A_1E_|_BP`     从而`BP`垂直于`A_1E`在平面`A_1BP`的射影(三垂线逆定理)     设`A_1E`在平面`A_1BP`的射影为`A_1Q`，且`A_1Q`交`BP`于点`Q`，则`/_EA_1Q`就是`A_1E`与平面`A_1BP`所成的角，且`BP_|_A_1Q`     在`△EBP`中，`.:BE=BP=2，/_EBP=60°`     `:.△EBP`是等边三角形     `:.BE=EP`     又`A_1E_|_`平面`BEP`     `:.A_1B=A_1P`     `:.Q`为`BP`的中点，且`EQ=sqrt3`     又`A_1E=1`，在`Rt△A_1EQ`中，`tan/_EA_1Q=(EQ)/(A_1E)=sqrt3`     `:./_EA_1Q=60°`     `:.`直线`A_1E`与平面`A_1BP`所成角的大小为`60°`

(3)在图(3)中，过`F`作`FM_|_A_1P`于`M`，连结`QM`、`QF`     `.:CF=CP=1`，`/_C=60°`     `:.△FCP`是正三角形，且`PF=1`     又`PQ=1/2BP=1`     `:.PF=PQ`              ①     `.:A_1E_|_`平面`BEP`，`EQ=EF=sqrt3`     `:.A_1F_|_A_1Q`     `:.△A_1FP~=△A_1QP`       `:./_A_1PF=/_A_1PQ`       ②     由①②及`MP`为公共边知`△FMP~=△QMP`     `:./_QMP=/_FMP=90°`，且`MF=MQ`     `:./_FMQ`为二面角`B-A_1P-F`的平面角     在`Rt△A_1QP`中，`A_1Q=A_1F=2`，`FQ=1`     `:.A_1P=sqrt5`     `.:MQ_|_A_1P`      `:.MQ=(A_1Q·PQ)/(A_1P)=(2sqrt5)/(5)`     `:.MF=(2sqrt5)/(5)`     在`△FCQ`中，`FC=1`，`QC=2`，`/_C=60°`，由余弦定理得`QF=sqrt3`     在`△FMQ`中，`cos/_FMQ=(MF^2+MQ^2-QF^2)/(2MF·MQ)=-7/8`     `:.`二面角`B-A_1P-F`的大小为`pi-arc cos(7/8)`

    方法二：不妨设正三角形`ABC`的边长为`3`，

    (1)同方法一

    (2)如图(1)，由方法一知`A_1E_|_`平面`BEF`，`BE_|_EF`，建立如图(4)所示的空间直角坐标系`O-xyz`，则`E(0，0，0)`，`A_1(0，0，1)`，`B(2，0，0)`，`F(0，sqrt3，0)`

连结`DP`，`.:AF=BP=2`，`AE=BD=1`，`/_A=/_B`     `:.△FEA~=△PDB`，`PD=EF=sqrt3`     由图(1)知`PF"//"DE`且`PF=DE=1`     `:.P(1，sqrt3，0)`     `:.vec(A_1B)=(2，0，-1)，vec(BP)=(-1，sqrt3，0)`     `:.`对于平面`A_1BP`内任一非零向量`vec(a)`，存在不全为零的实数`lambda`、`mu`      使得`vec(a)=lambdavec(A_1B)+muvec(BP)=(2lambda-mu，sqrt3mu，-lambda)`     又`vec(A_1E)=(0，0，-1)`     `:.cos<vec(A_1E)，vec(a)>`     `=(vec(A_1E)·vec(a))/(|vec(A_1E)|·|vec(a)|)`     `=lambda/(sqrt(5lambda^2-4lambdamu+4mu^2))`     `.:`直线`A_1E`与平面`A_1BP`所成的角是向量`vec(A_1E)`与平面`A_1BP`内非零向量夹角中最小的角      `:.`可设`lambda>0`     `:.cos<vec(A_1E)，vec(a)> =1/(sqrt(5-4mu/lambda+4(mu/lambda)^2))`     又`5-4mu/lambda+4(mu/lambda)^2=4(mu/lambda-1/2)^2+4`的最小值为`4`     `:.cos<vec(A_1E)，vec(a)>`的最大值为`1/2`     `即vec(A_1E)`与`vec(a)`夹角中最小的角为`60°`     `:.`直线`A_1E`与平面`A_1BP`所成角的大小为`60°`

    (3)如图(4)，过`F`作`FM_|_A_1P`于`M`，过`M`作`MN_|_A_1P`交`BP`于`N`，则`/_FMN`为二面角`B-A_1P-F`的平面角 

设`M(x，y，z)`，则`vec(MF)=(-x，sqrt3-y，-z)`     `.:vec(MF)_|_vec(A_1P)`     `:.vec(MF)·vec(A_1P)=0`，又`vec(A_1P)=(1，sqrt3，-1)`     `:.x+sqrt3(y-sqrt3)-z=0`        ①     `.:A_1、M、P`三点共线     `:.`存在`lambdainR`，使得`vec(A_1M)=lambdavec(A_1P)`     `.:vec(A_1M)=(x，y，z-1)`     `:.(x，y，z-1)=lambda(1，sqrt3，-1)`     从而`{(x=lambda),(y=sqrt3lambda),(z-1=-lambda):}`，代入①得`lambda=4/5`     `:.M(4/5，(4sqrt3)/5，1/5)`，同理可得`N(3/2，sqrt3/2，0)`     `:.vec(MF)=(-4/5，sqrt3/5，-1/5)`，`vec(MN)=(7/10，-(3sqrt3)/10，-1/5)`     `.:cos<vec(MF)，vec(MN)>`     `=(vec(MF)·vec(MN))/(|vec(MF)|·|vec(MN)|)`     `=(-7/10)/((2sqrt5)/5·(2sqrt5)/5)`     `=-7/8`     `:.`二面角`B-A_1P-F`的大小为`pi-arc cos(7/8)`

    评注:1、利用空间向量的坐标运算解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标．
    2、在立体几何中，要证明两线垂直，可选取适当的基底，然后确定各向量的坐标，通过向量数量积的坐标运算结果为`O`来证明，是一个很好的办法．
    3、求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示．
    4、在空间图形中，如果线段较多，关系也较为复杂(如平行、垂直、角和距离等均有涉及)．此时如何入手，是用逻辑推理方法解决，还是用向量方法解决，一般较难作出判断，而且在较为综合的问题中，只用某一种方法，有时也难以奏效，常常需要多种方法合理结合，灵活使用，才能达到理想效果．
    图形中如果存在三条两两垂直的线段，则可考虑以它们所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设法确定点、向量的坐标，然后通过向量的坐标，通过向量坐标运算解决有关问题 ．本题中，第(1)问的解决，实际上用传统方法解决也很方便，`E`点坐标的确定．也需要通过几何推理和计算，解题中应注意逻辑推导和向量运算的有机结合．

    解:在长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中， 以`AB`、`AD`、`A A_1`所在直线分别为`x、y、z`轴，建立空间直角坐标系，于是`A(0，0，0)`，`B(2，0，0)`，`F(1，0，1)`

    又`.:AD_|_`平面`A A_1B_1B` 

    `:.BD`与平面`A A_1B_1B`所成的角就是`/_DBA=30°`

    由`AB=2`，`AE_|_BD`，`AE=1`，`AD=(2sqrt3)/3`，得`E(1/2，sqrt3/2，0)`，`D(0，(2sqrt3)/3，0)`

(1)`.:vec(AE)=(1/2，sqrt3/2，0)`，`vec(BF)=(-1，0，1)`           `.:cos<vec(AE)，vec(BF)>`     `=(vec(AE)·vec(BF))/(|vec(AE)|·|vec(BF)|)`     `=(-1/2)/(sqrt2)`     `=-sqrt2/4`     即异面直线`AE`与`BF`所成的角为`arc cos(sqrt2/4)` 　     (2)易知平面`A A_1B`的一个法向量`vec(m)=(0，1，0)`，设`vec(n)=(x，y，z)`是平面`BDF`的一个法向量     `.:vec(BF)=(-1，0，1)`，`vec(BD)=(-2，(2sqrt3)/3，0)`      由`{(vec(n)_|_vec(BF)),(vec(n)_|_vec(BD)):}`     `rArr{(vec(n)·vec(BF)=0),(vec(n)·vec(BD)=0):}`     `rArr{(-x+z=0),(2x-(2sqrt3)/3y=0):}`     `rArr{(x=z),(sqrt3x=y):}`，取`vec(n)=(1，sqrt3，1)     `.:cos<vec(m)，vec(n)>`     `=(vec(m)·vec(n))/(|vec(m)|·|vec(n)|)`     `=sqrt3/(1xxsqrt5)`     `=sqrt15/5`     `:.`平面`BDF`与平面`A A_1B`所成二面角(锐角)的大小是`arc cos(sqrt15/5)`

    (3)设点`A`到平面`BDF`的距离为`d`，即`AB`Z在平面`BDF`的法向量`vec(n)`上的投影长

    `d=||vec(AB)|·cos<vec(AB)，vec(n)>|=||vec(AB)|·(vec(AB)·vec(n))/(|vec(AB)|·|vec(n)|)|=|vec(AB)·vec(n)|/|vec(n)|=2/sqrt5=(2sqrt5)/5`

    `:.`点`A`到平面`BDF`的距离 为`(2sqrt5)/5`

    评注:本题主要考察线线角、面面角、点到平面的距离等基础知识，考察空间想象能力和推理以及利用向量解决问题的能力．

    利用向量法求空间距离的具体途径是：
    (1)欲求两点`P`、`Q`之间的距离，可转化为求向量`vec(PQ)`的模；
    (2)欲求点`P`到直线`AB`的距离，可在`AB`上取一点`Q`，令`vec(AQ)=lambdavec(QB)`，由`vec(PQ)_|_vec(AB)`或求`|vec(PQ)|`的最小值，求得参数`lambda`值，以确定`Q`的位置，则`vec(PQ)`的模`|vec(PQ)|`，即为点`P`到直线`AB`的距离；
    (3)欲求点`P`到平面`alpha`的距离，可设`vec(n)`为平面`alpha`的法向量，`Qinalpha`，则`P`到平面`alpha`的距离`d=|vec(PQ)·vec(n)|/|vec(n)|`
    (4)欲求两条异面直线`l_1`、`l_2`之间的距离，可设与公垂线段`AB`平行的向量为`vec(n)`，`C`、`D`分别是`l_1`、`l_2`上的任意两点，则`l_1`、`l_2`之间的距离`|AB|=|vec(CD)·vec(n)|/|vec(n)|`．

    (提示内容)

    解:由．

    评注:解决此题

    一、选择题
    1、正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`的棱长为`1`，以`D`为原点，`vec(DA)`、`vec(DC)`、`vec(DD_1)`所在直线为`x`、`y`、`z`轴建立直角坐标系`D``-xyz`，且`MN`是`AB_1`与`BC_1`的公垂线，`M`在`AB_1`上，`N`在`BC_1`上，则`vec(MN)`等于(   )
    A.`(1，2/3，2/3)`    B.`(2/3，1，2/3)`    C.`(-1/3，1/3，-1/3)`    D.`(1/3，-1/3，1/3)`
    2、在空间直角坐标系中，已知`A(2，3，1)`，`B(4，1，2)`，`C(6，3，7)`，`D(-5，-4，8)`，`DH_|_`平面`ABC`，垂足为`H`，直线`DH`交平面`xOy`于点`M`，则点`M`的坐标是(   )
    A.`(4，7，0)`     B.`(7，4，0)`     C.`(-4，7，0)`       D.`(-7，-4，0)`
    3、直三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`中，`/_ACB=90°`，`/_BAC=30°`，`BC=1`，`A A_1=sqrt6`，`M`是`C C_1`的中点，则异面直线`AB_1`与`A_1M`所成的角为(   )
    A.`60°`      B.`45°`      C.`30°`      D.`90°`
    4、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于`a`，点`E、F、G`分别是`AB、AD、DC`的中点，则`a^2`是下列哪个向量的数量积(   )
    A.`2vec(BA)•vec(AC)`      B.`2vec(AD)•vec(BD)`      C.`2vec(FG)•vec(CA)`      D.`2vec(EF)•vec(CB)`

                                                      
    5、如图，`P`是二面角`alpha-l-beta`棱上的一点，分别在`alpha`、`beta`平面上引射线`PM、PN`，如果`/_BPM=/_BPN=45°`，`/_MPN=``60°`，那么二面角`alpha-AB-beta`的大小为(   )

    A.`60°`      B.`70°`      C.`80°`      D.`90°`

                                                    
    二、填空题
    6、如图，在棱长为`1`的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`O`为正方形`ABCD`的中心，`E、F`分别为`AB、BC`的中点，则异面直线`C_1O`与`EF`的距离为______

                                                       
    7、设`vec(OA)=(1，1，-2)`，`vec(OB)=(3，2，8)`，`vec(OC)=(0，1，0)`，则线段`AB`的中点`P`到点`C`的距离为______
    三、解答题
    8、(05·福建20)如图，直二面角`D-AB-E`中，四边形`ABCD`是边长为`2`的正方形，`AE=EB`，`F`为`CE`上的点，且`BF_|_`平面`ACE`

(1)求证：`AE_|_`平面`BCE`     (2)求二面角`B-AC-E`的大小     (3)求点`D`到平面`ACE`的距离

    9、(05·重庆理20)如图，在三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`中，`AB_|_`侧面`BB_1C_1C`，`E`为棱`C C_1`上异于`C、C_1`的一点，`EA_|_EB`，已知`AB=sqrt2`，`BB_1=2`，`BC=1`，`/_BC C_1=pi/3`，求：

(1)异面直线`AB`与`EB_1`的距离     (2)二面角`A-EB_1-A_1`的平面角的正切值

    10、(探究创新题)如图所示的多面体是由底面为`ABCD`的长方体被截面`AEC_1F`所截而得到的，其中`AB=4`，`BC=``2`，`C C_1=3`，`BE=1`

(1)求`BF`与平面`BC C_1E`所成的角     (2)求截面`AEC_1F`与平面`ABCD`所成二面角的大小     (3)在线段`C C_1`上是否存在一点`C_2`，使`C_2`在平面`AEC_1F`上的射影恰为`△EC_1F`的重心