第九章 直线、平面、简单几何体(B) §9.2 空间角和距离
能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形;
能够根据图形想象它们的位置关系.
2、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;
理解直线和平面垂直的概念;
掌握直线和平面垂直的判定定理;
掌握三垂线定理及其逆定理.
3、理解空间向量的概念;
掌握空间向量的加法、减法和数乘.
4、了解空间向量的基本定理;
理解空间向量坐标的概念;
掌握空间向量的坐标运算.
5、掌握空间向量的数量积的定义及其性质;
掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;
掌握空间两点间的距离公式.
6、理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.
7、掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念;
对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离;
掌握直线和平面垂直的性质定理;
掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理.
8、了解多面体、凸多面体的概念;了解正多面体的概念.
9、了解棱柱的概念;掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图.
10、了解棱锥的概念;掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图.
11、了解球的概念;掌握球的性质;掌握球的表面积、体积公式.
专题结构
2、直线与平面所成的角
3、二面角
4、空间距离
考点案例 在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高
1、(05·福建理8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A.arccos(155) B.π4
C.arccos(105) D.π2
提示
示范
解:方法一:连结EG、AE,由长方体的性质可知,EG⊥平面ADD1A1、AF⊥平面ADD1A1
∴AE是FG在平面ADD1A1内的射影
在矩形A1ADD1中,可证A1E2+AE2=A1A2
∴A1E⊥AE
∴A1E⊥GF(三垂线定理)
方法二:连结B1G、B1F、FC
在△B1GF中,B1G=2、B1F=5、GF=3
∴B1G2+GF2=B1F2
∴B1G⊥GF,即A1E⊥GF
方法三:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),G(0,2,1)
∴A1E→=(-1,0,-1),GF→=(1,-1,-1)
∴A1E→·GF→=-1+1=0
∴A1E⊥GF
方法四:A1E→=12D1D→-D1A1→
GF→=12D1D→+DA→+12BA→
∴A1E→·GF→=(12D1D→-D1A1→)·(12D1D→+DA→+12BA→)
=12D1D→2+12D1D→·DA→+14D1D→·BA→-12D1A1→·D1D→-D1A1→·DA→-12D1A1→·BA→
=12×2-1
=0
评注:求异面直线所成的角时,有可能垂直的,先考虑用三垂线(逆)定理;利用“平移法”时,要灵活应用中位线和平行四边形来实现平移,另外,在用余弦定理求异面直线所成角时,若出现所求角的余弦值为负值,说明所求角为钝角,则异面直线所成角一定要转化为锐角.
2、(06·浙江卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点
(1)求证:PB⊥DM
(2)求CD与平面ADMN所成的角
解:方法一:(1)证明:∵N是PB的中点,PA=AB
∴AN⊥PB
∵AD⊥平面PAB
∴AD⊥PB
∴PB⊥平面ADMN
∵DM⊂平面ADMN
∴PB⊥DM
(2)取AD的中点G,连结BG、NG,则BG//CD
∴BG与平面ADMN所成的角就是CD与平面ADMN所成的角
∵PB⊥平面ADMN
∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角
在Rt△BGN中,sin∠BGN=BNBG=105
∴CD与平面ADMN所成的角是arcsin(105)
方法二:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,1,0),M(1,12,1),D(0,2,0)
(1)证明:∵PB→·DM→=(2,0,-2)·P(1,-32,1)=0
(2)∵PB→·AD→=(2,0,-2)·(0,2,0)=0
∴PB⊥AD
又∴PB⊥DM
∴<PB→,DC→>的余角就是CD平面ADMN所成的角
∵cos<PB→,DC→>=PB→·DC→|PB→|·|DC→|=105
∴CD与平面ADMN所成的角是arccos(105)
评注:本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力.
斜线与平面所成角的求法:
(1)利用定义,找射影;
(2)利用公式cosθ=cosθ1•cosθ2(如图所示,若已知θ1和θ2,则由公式变形为cosθ2=cosθcosθ1即得;
(3)利用向量,先将斜线与平面所成的角转化为两直线所成的角,再转化为向量的夹角,由cos<a→,b→>=a→·b→|a→||b→|即得.
3、(05·全国卷Ⅰ)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD (2)求AC与PB所成的角 (3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小
解:方法一:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD
∴CD⊥PD(三垂线定理)
∴CD与平面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直
∴CD⊥平面PAD,又∵CD⊂平面PCD
∴平面PAD⊥平面PCD
(2)过点B作BE//CA,且BE=CA
∴∠PBE是AC与PB所成的角
连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2
又∵AB=2
∴四边形ACBE为正方形
由PA⊥平面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中,BE=2,PB=5
∴cos∠PBE=BEPB=105
∴AC与PB所成的角为arccos(105)
(3)作AN⊥CM,垂足为N,连结BN
在Rt△PAB中,AM=MB
又AC=CB
∴△AMC≅△BMC
∴BN⊥CN
∴∠ANB是所求二面角的平面角
∵CB⊥AC,由三垂线定理得CB⊥PC
在Rt△PCB中,CM=MB
∴CM=AM
在等腰三角形AMC中,AN·MC=CM2-(AC2)2·AC
∴AN=32×252=65
∵AB=2
∴cos∠ANB=AN2+BN2-AB22×AN×BN=-23
∴所求二面角为arccos(-23)
方法二:因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以以A为坐标原点,AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12)
(1)证明:∵CD→=(0,-1,0),PD→=(1,0,-1)
∴CD→·PD→=0
∴CD⊥PD
又由题设知CD⊥AD,且PD与AD是平面PAD内两条相交直线
∴CD⊥平面PAD
∵CD⊂平面PCD
(2)∵AC→=(1,1,0),PB→=(0,2,-1)
∴|AC→|=2,|PB→|=5,AC→·PB→=2
∵cos<AC→,PB→>=AC→·PB→|AC→|·|PB→|=105
∴AC与PB所成的角是arccos(105)
(3)在MC取一点N(x,y,z),则存在λ∈R
使NC→=λMC→,NC→=(1-x,1-y,1-z),MC→=(1,0,-12)
∴x=1-λ,y=1,z=12λ
要使AN⊥MC,只需AN→·MC→=0,即x-12z=0,解得λ=45
可知当λ=45时,N点坐标为(15,1,25),能使AN→·MC→=0
此时,AN→=(15,1,25),BN→=(15,-1,25),有BN→·MC→=0
由AN→·MC→=0,BN→·MC→=0,得AN⊥MC,BN⊥MC
∴∠ANB为所求二面角的平面角
∵|AN→|=305,|BN→|=305,AN→·BN→=-45
∵cos<AN→,BN→>=AN→·BN→|AN→|·|BN→|=-23
评注:本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力.
求二面角的五种方法
最后一种是转化为向量的夹角.
4、(04·江苏)棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
(2)设点O到平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP
(3)求点P到平面ABD1的距离
解:方法一:(1)连结BP
∵AB⊥平面BCC1B1
∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB
∵CC1=4CP,CC1=4
∴CP=1
在Rt△PBC中,∠PCB为直角,BC=4,CP=1,故BP=17
在Rt△APB中,∠APB为直角,tan∠APB=ABBP=41717
∴∠APB=arctan(41717)
即直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小为arctan(41717)
(2)连结A1C1,B1D1
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∵D1O⊥A1C1
又AA1⊥底面A1B1C1D1
∴AA1⊥D1O
∵AA1∩A1C1=A1
∴D1O⊥平面A1APC1
∵AP⊂平面A1APC1
∴D1O⊥AP
∵D1H是D1O在平面D1AP内的射影
∴D1H⊥AP(三垂线逆定理)
(3)连结BC1,在平面BCC1B1中,过点P作PQ⊥BC1于点Q
∵AB⊥平面BCC1B1,PQ⊂平面BCC1B1
∴PQ⊥AB
∴PQ⊥平面ABC1D1
∴PQ就是点P到平面ABD1的距离
在Rt△C1PQ中,∠C1PQ=90°,∠PC1Q=45°,PC1=3
∴PQ=322
∴点P到平面ABD1的距离为322
方法二:(1)∵AB⊥平面BCC1B1
如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D
则CP=1,A(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0)
∴PA→=(4,-4,-1),PB→=(4,0,-1)
∵|PA→|=33,|PB→|=17,PA→·PB→=16+0+1=17
∵cos∠APB=PA→·PB→|PA→|·|PB→|
=56133
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角是arccos(56133)
(2)证明:连结D1O,由(1)有D1(0,0,4),O(2,2,4)
∴D1O→=(2,2,0),PA→·D1O→=8-8+0=0
∴PA→⊥D1O→
(3)同解法一
评注:本题涉及知识面宽,对逻辑推理能力、空间想象能力、以及计算能力都有一定的要求.
5、已知.
(提示内容)
解:由.
评注:解决此题
一、选择题 1、(05·湖南5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为( ) A.12 B.24 C.22 D.32
2、已知二面角α-l-β的大小为60°,b和c是两条异面直线,则在下列四个条件中,能使b和c所成的角为60°的是( ) A.b//α,c//β B. b//α,c⊥β C.b⊥α,c⊥β D.b⊥α,c//β 3、如图,在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是( ) A.32 B.2 C.52 D.63
4、如图,在直三棱柱中ABC-A'B'C'中,AB=AC=AA'=1,∠BAC=90°,则A'C与BC'所成的角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
5、正方形ABCD的边长是2,E、F分别是AB、CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M为矩形AEFD内一点,如果∠MBE=∠MBC,MB和平面BCF所成角的正切值为12,那么点M到直线EF的距离为( ) A.22 B.1 C.32 D.12
二、填空题 6、(06·天津13)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小为60°,则点C到平面ABC1的距离为______
7、(05·江西理15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为______
三、解答题 8、(06·福建18)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2
(1)求证:AO⊥平面BCD (2)求异面直线AB与CD所成角的大小 (3)求点E到平面ACD的距离
9、(05·湖北理20)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点
10、(探究创新题)如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,PA=1
方法感悟 立体几何中求角与距离的关键是化归,即空间距离与角向平面距离与角化归,其解题过程常有如下一些规律: 1、两异面直线所成角转化为两相交直线所成角,面面(平行、垂直)转化为线面(平行、垂直)再转化为线线(平行、垂直),面面距离转化为线面距离再转化为点面距离. 2、对求角可归纳为:求角先定平面角,利用三角形去解决,常用三角函数定义、正(余)弦定理,若余弦为负值,异面、线面要取锐角.对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正、余弦定理,勾股定理,若垂线段难求出,等积变换来转换.
3、注意规范解答,对作、证、求三环节交待清楚,表达规范、严谨,因果关系表述充分,运用好符号语言等.
返回