§6.2 不等式的证明与应用

第六章不等式
§6.2 不等式的证明与应用

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1、理解不等式的性质及证明．
    2、掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
    3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
    4、掌握简单不等式的解法．
    5、理解不等式`|a|-|b|<=|a+b|<=|a|+|b|`．

考能训练

    一、选择题
    1、(2006湖北黄冈四模)命题`p：若a、b in RR，则|a|+|b|>1是|a+b|>1`的充分而不必要条件；命题q：函数`y=sqrt(|x-1|-2)`的定义域是`(-oo,-1] uu [3,+oo)`，则(    )
    A．“p或q为假”            B．“p且q”为真              C．p真q假               D．p假q真
    2、(2006陕西高考，10)已知函数`f(x)=ax^2+2ax+4(0<a<3)，若x_1<x_2,x_1+x_2=1-a`，则(   )
    A．`f(x_1)>f(x_2)`        B．`f(x_1)<f(x_2)`          C．`f(x_1)=f(x_2)`      D．`f(x_1)与f(x_2)`的大小不确定
    3、(2006福建福州高中质检)设`x_1、x_2是函数f(x)=e^x`定义域内的两个变量，`x_1<x_2，若alpha=1/2(x_1+x_2)`，那么下列不等式恒成立的是(   )
    A．`|f(alpha)-f(x_1)|>|f(x_2)-f(alpha)| `                                 B．`|f(alpha)-f(x_1)|<|f(x_2)-f(alpha)|`
    C．`|f(alpha)-f(x_1)|=|f(x_2)-f(alpha)|`                                 D．`f(x_1)f(x_2)>f^2(alpha)`
    4、(2005山东高考，11理)已知`0<a<1`，下列不等式一定成立的是(   )
    A．`|log_(1+a)(1-a)|+|log_(1-a)(1+a)|>2`                B．`|log_(1+a)(1-a)|<|log_(1-a)(1+a)|`
    C．`|log_(1+a)(1-a)+log_(1-a)(1+a)|< |log_(1+a)(1-a)|+|log_(1-a)(1+a)|`
    D．`|log_(1+a)(1-a)-log_(1-a)(1+a)|>|log_(1+a)(1-a)|-|log_(1-a)(1+a)|`
    5、(2006湖北武汉高三四月调研)若`n-m表示[m,n](m<n)的区间长度，函数f(x)=sqrt(a-x)+sqrt(x)(a>0)`的值域区间长度为`2(sqrt(2)-1)`，则实数a值为(   )
    A．4                       B．2                        C．`sqrt(2)`            D．1
    二、填空题
    6、已知`x+y+z=1，则x^2+y^2+z^2与1/3`的大小关系为______
    7、已知`a、b、c为某一直角三角形的三条边，c为斜边．若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，在m^2+n^2`的最小值是______
    三、解答题
    8、要使不等式`sqrt(x)+sqrt(y)<=ksqrt(x+y)`对所有正数x、y都成立，试问k的最小值是多少？
    9、(2006江西高考，17理)已知函数`f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1`时都取得极值．
    (1)求`a、b的值及函数f(x)`的单调区间；
    (2)若对`x in [-1,2]，不等式f(x)<c^2`恒成立．求c的取值范围．
    10、已知定义在`(0,+oo)`上的函数f(x)满足:(1)`x>1时,f(x)<0`;(2)`f(1/2)=1`；(3)对任意的`x、y in (0,+oo)`都有`f(xy)=f(x)+f(y)`，求不等式`f(x)+f(5-x)>=-2`的解集．
　

参考答案

    一、选择题
    1、(2006湖北黄冈四模)命题`p：若a、b in RR，则|a|+|b|>1是|a+b|>1`的充分而不必要条件；命题q：函数`y=sqrt(|x-1|-2)`的定义域是`(-oo,-1] uu [3,+oo)`，则( D )
    A．“p或q为假”            B．“p且q”为真              C．p真q假                 D．p假q真
    2、(2006陕西高考，10)已知函数`f(x)=ax^2+2ax+4(0<a<3)，若x_1<x_2,x_1+x_2=1-a`，则( B )
    A．`f(x_1)>f(x_2)`         B．`f(x_1)<f(x_2)`          C．`f(x_1)=f(x_2)`          D．`f(x_1)与f(x_2)`的大小不确定
    3、(2006福建福州高中质检)设`x_1、x_2是函数f(x)=e^x`定义域内的两个变量，`x_1<x_2，若alpha=1/2(x_1+x_2)`，那么下列不等式恒成立的是( B )
    A．`|f(alpha)-f(x_1)|>|f(x_2)-f(alpha)|`                                  B．`|f(alpha)-f(x_1)|<|f(x_2)-f(alpha)|`
    C．`|f(alpha)-f(x_1)|=|f(x_2)-f(alpha)|`                                  D．`f(x_1)f(x_2)>f^2(alpha)`
    4、(2005山东高考，11理)已知`0<a<1`，下列不等式一定成立的是( A )
    A．`|log_(1+a)(1-a)|+|log_(1-a)(1+a)|>2 `               B．`|log_(1+a)(1-a)|<|log_(1-a)(1+a)|`
    C．`|log_(1+a)(1-a)+log_(1-a)(1+a)|< |log_(1+a)(1-a)|+|log_(1-a)(1+a)|`
    D．`|log_(1+a)(1-a)-log_(1-a)(1+a)|>|log_(1+a)(1-a)|-|log_(1-a)(1+a)|`
    5、(2006湖北武汉高三四月调)若`n-m表示[m,n](m<n)的区间长度，函数f(x)=sqrt(a-x)+sqrt(x)(a>0)`的值域区间长度为`2(sqrt(2)-1)`，则实数a值为( A )
    A．4                       B．2                         C．`sqrt(2)`                D．1
    二、填空题
    6、已知`x+y+z=1，则x^2+y^2+z^2与1/3`的大小关系为______
    答案：`x^2+y^2+z^2>=1/3`
    7、已知`a、b、c为某一直角三角形的三条边，c为斜边．若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，在m^2+n^2`的最小值是______
    答案：4
    三、解答题
    8、要使不等式`sqrt(x)+sqrt(y)<=ksqrt(x+y)`对所有正数x、y都成立，试问k的最小值是多少？
    答案：k的最小值是`sqrt(2)`.
    9、(2006江西高考，17理)已知函数`f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1`时都取得极值．
    (1)求`a、b的值及函数f(x)`的单调区间；
    (2)若对`x in [-1,2]，不等式f(x)<c^2`恒成立．求c的取值范围．
    答案：(1)`a=-1/2,b=-2`;f(x)的递增区间为`(-oo,-2/3)与(1,+oo),递减区间为(-2/3,1)`
    (2)`c<-1或c>2`
    10、已知定义在`(0,+oo)`上的函数f(x)满足:(1)`x>1时,f(x)<0`;(2)`f(1/2)=1`；(3)对任意的`x、y in (0,+oo)`都有`f(xy)=f(x)+f(y)`，求不等式`f(x)+f(5-x)>=-2`的解集．
   答案：解集为`{x|0<x<=1或4<=x<5}`

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