§6.2 不等式的证明与应用

第六章不等式
§6.2 不等式的证明与应用

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1、理解不等式的性质及证明．
    2、掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
    3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
    4、掌握简单不等式的解法．
    5、理解不等式

| a | - | b | \leq | a + b | \leq | a | + | b |

．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
　

1、记函数.

提示	示范
分别求出.
解:(1 评注:对于 .

2、如图

提示	示范
将题中.
解:设全集为评注: 这是一道．

3、设全.

提示	示范
$C_{U} .$
解: $∵ C ．$ 评注:由题设条件．

4、已知.

提示	示范
集合中的.
解:(1). 评注:集合中．

5、已知.

提示	示范
(提示内容)
解:由. 评注:解决此题

考能训练

一、选择题
1、(2006湖北黄冈四模)命题

p ： 若 a 、 b \in ℝ ， 则 | a | + | b | > 1 是 | a + b | > 1

的充分而不必要条件；命题q：函数

y = \sqrt{| x - 1 | - 2}

的定义域是

(- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)

，则(    )
    A．“p或q为假”            B．“p且q”为真              C．p真q假               D．p假q真
    2、(2006陕西高考，10)已知函数

f (x) = a x^{2} + 2 a x + 4 (0 < a < 3) ， 若 x_{1} < x_{2}, x_{1} + x_{2} = 1 - a

，则( )
A．

f (x_{1}) > f (x_{2})

B．

f (x_{1}) < f (x_{2})

C．

f (x_{1}) = f (x_{2})

D．

f (x_{1}) 与 f (x_{2})

的大小不确定
3、(2006福建福州高中质检)设

x_{1} 、 x_{2} 是 函 数 f (x) = e^{x}

定义域内的两个变量，

x_{1} < x_{2} ， 若 α = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2})

，那么下列不等式恒成立的是( )
A．

| f (α) - f (x_{1}) | > | f (x_{2}) - f (α) |

B．

| f (α) - f (x_{1}) | < | f (x_{2}) - f (α) |

C．

| f (α) - f (x_{1}) | = | f (x_{2}) - f (α) |

D．

f (x_{1}) f (x_{2}) > f^{2} (α)

4、(2005山东高考，11理)已知

0 < a < 1

，下列不等式一定成立的是( )
A．

| {log}_{1 + a} (1 - a) | + | {log}_{1 - a} (1 + a) | > 2

B．

| {log}_{1 + a} (1 - a) | < | {log}_{1 - a} (1 + a) |

C．

| {log}_{1 + a} (1 - a) + {log}_{1 - a} (1 + a) | < | {log}_{1 + a} (1 - a) | + | {log}_{1 - a} (1 + a) |

D．

| {log}_{1 + a} (1 - a) - {log}_{1 - a} (1 + a) | > | {log}_{1 + a} (1 - a) | - | {log}_{1 - a} (1 + a) |

5、(2006湖北武汉高三四月调研)若

n - m 表 示 [m, n] (m < n) 的 区 间 长 度 ， 函 数 f (x) = \sqrt{a - x} + \sqrt{x} (a > 0)

的值域区间长度为

2 (\sqrt{2} - 1)

，则实数a值为( )
A．4 B．2 C．

\sqrt{2}

            D．1
    二、填空题
    6、已知

x + y + z = 1 ， 则 x^{2} + y^{2} + z^{2} 与 \frac{1}{3}

的大小关系为______
7、已知

a 、 b 、 c 为 某 一 直 角 三 角 形 的 三 条 边 ， c 为 斜 边 ． 若 点 (m, n) 在 直 线 a x + b y + 2 c = 0 上 ， 在 m^{2} + n^{2}

的最小值是______
三、解答题
8、要使不等式

\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq k \sqrt{x + y}

对所有正数x、y都成立，试问k的最小值是多少？
9、(2006江西高考，17理)已知函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c 在 x = - \frac{2}{3} 与 x = 1

时都取得极值．
(1)求

a 、 b 的 值 及 函 数 f (x)

的单调区间；
(2)若对

x \in [- 1, 2] ， 不 等 式 f (x) < c^{2}

恒成立．求c的取值范围．
10、已知定义在

(0, + \infty)

上的函数f(x)满足:(1)

x > 1 时, f (x) < 0

;(2)

f (\frac{1}{2}) = 1

；(3)对任意的

x 、 y \in (0, + \infty)

都有

f (x y) = f (x) + f (y)

，求不等式

f (x) + f (5 - x) \geq - 2

的解集．
　

参考答案

一、选择题
1、(2006湖北黄冈四模)命题

p ： 若 a 、 b \in ℝ ， 则 | a | + | b | > 1 是 | a + b | > 1

的充分而不必要条件；命题q：函数

y = \sqrt{| x - 1 | - 2}

的定义域是

(- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)

，则( D )
A．“p或q为假” B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真
2、(2006陕西高考，10)已知函数

f (x) = a x^{2} + 2 a x + 4 (0 < a < 3) ， 若 x_{1} < x_{2}, x_{1} + x_{2} = 1 - a

，则( B )
A．

f (x_{1}) > f (x_{2})

B．

f (x_{1}) < f (x_{2})

C．

f (x_{1}) = f (x_{2})

D．

f (x_{1}) 与 f (x_{2})

的大小不确定
3、(2006福建福州高中质检)设

x_{1} 、 x_{2} 是 函 数 f (x) = e^{x}

定义域内的两个变量，

x_{1} < x_{2} ， 若 α = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2})

，那么下列不等式恒成立的是( B )
A．

| f (α) - f (x_{1}) | > | f (x_{2}) - f (α) |

B．

| f (α) - f (x_{1}) | < | f (x_{2}) - f (α) |

C．

| f (α) - f (x_{1}) | = | f (x_{2}) - f (α) |

D．

f (x_{1}) f (x_{2}) > f^{2} (α)

4、(2005山东高考，11理)已知

0 < a < 1

，下列不等式一定成立的是( A )
A．

| {log}_{1 + a} (1 - a) | + | {log}_{1 - a} (1 + a) | > 2

B．

| {log}_{1 + a} (1 - a) | < | {log}_{1 - a} (1 + a) |

C．

| {log}_{1 + a} (1 - a) + {log}_{1 - a} (1 + a) | < | {log}_{1 + a} (1 - a) | + | {log}_{1 - a} (1 + a) |

D．

| {log}_{1 + a} (1 - a) - {log}_{1 - a} (1 + a) | > | {log}_{1 + a} (1 - a) | - | {log}_{1 - a} (1 + a) |

5、(2006湖北武汉高三四月调)若

n - m 表 示 [m, n] (m < n) 的 区 间 长 度 ， 函 数 f (x) = \sqrt{a - x} + \sqrt{x} (a > 0)

的值域区间长度为

2 (\sqrt{2} - 1)

，则实数a值为( A )
A．4 B．2 C．

\sqrt{2}

                D．1
    二、填空题
    6、已知

x + y + z = 1 ， 则 x^{2} + y^{2} + z^{2} 与 \frac{1}{3}

的大小关系为______
答案：

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3}

7、已知

a 、 b 、 c 为 某 一 直 角 三 角 形 的 三 条 边 ， c 为 斜 边 ． 若 点 (m, n) 在 直 线 a x + b y + 2 c = 0 上 ， 在 m^{2} + n^{2}

的最小值是______
    答案：4
    三、解答题
    8、要使不等式

\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq k \sqrt{x + y}

对所有正数x、y都成立，试问k的最小值是多少？
答案：k的最小值是

\sqrt{2}

.
9、(2006江西高考，17理)已知函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c 在 x = - \frac{2}{3} 与 x = 1

时都取得极值．
(1)求

a 、 b 的 值 及 函 数 f (x)

的单调区间；
(2)若对

x \in [- 1, 2] ， 不 等 式 f (x) < c^{2}

恒成立．求c的取值范围．
答案：(1)

a = - \frac{1}{2}, b = - 2

;f(x)的递增区间为

(- \infty, - \frac{2}{3}) 与 (1, + \infty), 递 减 区 间 为 (- \frac{2}{3}, 1)

(2)

c < - 1 或 c > 2

10、已知定义在

(0, + \infty)

上的函数f(x)满足:(1)

x > 1 时, f (x) < 0

;(2)

f (\frac{1}{2}) = 1

；(3)对任意的

x 、 y \in (0, + \infty)

都有

f (x y) = f (x) + f (y)

，求不等式

f (x) + f (5 - x) \geq - 2

的解集．
答案：解集为

{x | 0 < x \leq 1 或 4 \leq x < 5}

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