§4.2 三角函数的图象与性质

第四章数列
§4.2 三角函数的图象与性质

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
    2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式：

{sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1

\frac{sin α}{cos α} = tan α

tan α cot α = 1

       掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．
    3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
    4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
    5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数

y = A sin (ω x + ϕ)

的简图，理解

A 、 ω 、 ϕ

的物理意义．
6．会用已知三角函数值求角，并会用符号

a r c sin x 、 a r cos x 、 a r c tan x

表示．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、(2006年高考陕西卷)已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {sin}^{2} (x - \frac{π}{12}) (z \in R)$ .
    (1)求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
    (2)求使函数 $f (x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合．

提示	示范
分别求出.
解:(1) $f (x) = \sqrt{3} sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {sin}^{2} (x - \frac{π}{12})$ = $\sqrt{3} sin 2 (x - \frac{π}{12}) - cos 2 (x - \frac{π}{12}) + 1$ = $2 [\frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 (x - \frac{π}{12}) - \frac{1}{2} cos (x - \frac{π}{12})] + 1$ = $2 sin [2 (x - \frac{π}{12}) - \frac{π}{6}] + 1$ = $2 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ ∴ $T = \frac{2 π}{2} = π$ . (2)当 $f (x)$ 取最大值时， $sin (2 x - \frac{π}{3}) = 1$ ，有 $2 x - \frac{π}{3} = 2 k π + \frac{π}{2}$ ，即 $x = k π + \frac{5 π}{12} (k \in ℤ)$ ， ∴所求 $x$ 的集合为 ${x \| x = k π + \frac{5 π}{12} ， k \in ℤ}$ ．评注:①本题型是历年来高考的热点题型之一，解题的关键是能正确地将函数化简到“单角单函数”的形式． ②熟记下列变换将有助于提高解题能力： $sin x \pm cos x = \sqrt{2} sin (x \pm \frac{π}{4})$ ， $sin x \pm \sqrt{3} cos x = 2 sin (x \pm \frac{π}{3})$ ， $\sqrt{3} sin x \pm cos x = 2 sin (x \pm \frac{π}{6})$ ． ③要熟记 $y = sin x$ 的图象与性质，并能灵活运用到形式稍有不同的题中，如 $y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4})$ .

2、已知函数

f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (sin x - cos x)

，
    (1)求它的定义域和值域；
    (2)求它的单调区间；
    (3)判断它的奇偶性；
    (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．．

提示	示范
将题中.
解:(1)由题意得 $sin x - cos x > 0$ ，即 $\sqrt{2} sin \cdot (x - \frac{π}{4}) > O$ ．从而得 $2 k π < x - \frac{π}{4} < 2 k π + π$ ． ∴函数 $f (x)$ 的定义域为 $(2 k π + \frac{π}{4} ， 2 k π + \frac{5 π}{4}) (k \in ℤ)$ ． ∵ $0 < sin (x - \frac{π}{4}) \leq 1$ ,∴ $0 < sin x - cos x \leq \sqrt{2}$ ，即有 ${log}_{\frac{1}{2}} \sqrt{2} \leq {log}_{\frac{1}{2}} (sin x - cos x)$ ，故函数 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ ． (2) $sin x - cos x = \sqrt{2} sin \cdot (x - \frac{π}{4})$ 在 $f (x)$ 的定义域上的单调递增区间为 $(2 k π + \frac{π}{4} ， 2 k π + \frac{3 π}{4})$ $(k \in ℤ)$ ，单调递减区间为 $[2 k π + \frac{3 π}{4} ， 2 k π + \frac{5 π}{4})$ $(k \in ℤ)$ ． ∴函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{3 π}{4} ， 2 k π + \frac{5 π}{4})$ $(k \in ℤ)$ ; 单调递减区间为 $(2 k π + \frac{π}{4} ， 2 k π + \frac{3 π}{4})$ $(k \in ℤ)$ ． (3)∵ $f (x)$ 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴函数 $f (x)$ 是非奇非偶函数． (4)∵ $f (x + 2 π) = {log}_{\frac{1}{2}} [sin (x + 2 π) - cos (x - 2 π)] = {log}_{\frac{1}{2}} (sin x - cos x) = f (x)$ , ∴ $f (x)$ 是周期函数，最小正周期 $T = 2 π$ ．评注: 把复杂的三角函数式统一化为“三个一”，即只含一个角、一种三角函数、一次方的形式就能顺利解决以下几种类型的问题： ①“五点法”作图； ②最小正周期； ③值域(包括最小值、最大值)； ④单调区间．本例若把函数改为 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} \| sin x - cos x \|$ ，各问的答案又如何呢? 答案：(1)定义域为 ${x \| x \in R 且 x \neq k π + \frac{π}{4} ， k \in ℤ}$ ，值域为 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ ； (2)单调递增区间是 $[k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{π}{4})$ ，递减区间是 $(k π + \frac{π}{4} ， k π + \frac{3 π}{4})$ ； (3) $f (x)$ 为非奇非偶函数； (4)周期 $T = π$ ．

3、已知函数

f (x) = 2 sin x (sin x + cos x)

．
(1)求函数

f (x)

的最小正周期和最大值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数

y = f (x)

在区间

[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]

上的图象.

提示

示范

解:(1)

f (x) = 2 ξ n^{2} x + 2 sin x cos x

1 - cos 2 x + sin 2 x

1 + \sqrt{2} (sin 2 x cos (\frac{π}{4}) - cos 2 x sin (\frac{π}{4}))

1 + \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{4})

，
所以函数

f (x)

的最小正周期为

π

，最大值为

1 + \sqrt{2}

.
(2)由(1)知

故函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象是

评注:本题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基衣技能，考查画图的技能．研究 $y = a sin x + b cos x$ 型函数的性质，一般要化成了 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 型的函数再研究．
　

4、(2005全国高考Ⅲ17)已知函数

f (x) = sin (2 x + ϕ) (- π < ϕ < 0)

，

y = f (x)

图象的一条对称轴是直线

x = \frac{π}{8}

.
(1)求

ϕ

；(2)求函数

f = (x)

的单调区间；
(2)证明直线

5 x + 2 y + c = 0

与函数

y = f (x)

的图象不相切.

提示	示范
由对称轴是 $x = \frac{π}{8}$ ，可知 $2 \times \frac{π}{8} + ϕ$ 使 $f (x)$ 取最值.即 $\frac{π}{4} + ϕ = k π + \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .从而可求 $ϕ$ ；由 $sin x$ 的单增区间可求 $f (x) = sin (2 x + ϕ)$ 的单增区间.由 $\| f' (x) \| = \| 2 cos (2 x + ϕ) \| \leq 2$ ,直线 $5 x - 2 y + c = 0$ 的斜率为 $\frac{5}{2} > 0$ 说明直线和 $f (x)$ 的图象不能相切.
解:(1)∵ $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称轴 ∴ $sin (2 \cdot \frac{π}{8} + ϕ) = \pm 1$ , 则有 $\frac{π}{4} + ϕ = k π + \frac{π}{2}, k \in ℤ$ . ∵ $- π < ϕ < 0$ , ∴ $ϕ = - \frac{3 π}{4}$ . (2)由(1)得 $ϕ = - \frac{3 π}{4}$ ，∴ $y = sin (2 x - \frac{3}{4} π)$ , 由题意思得 $2 k π - \frac{π}{2} \leq 2 x - \frac{3}{4} π \leq 2 k π + \frac{π}{2}, (k \in ℤ)$ , ∴函数 $y = sin (2 x - \frac{3}{4} π)$ 的单增区间为 $[k π + \frac{π}{8}, k π + \frac{5}{8} π], k \in ℤ$ , (3)令 $F (x) = sin (2 x - \frac{3}{4} π)$ 的图象不相切，则 $F' (x) = 2 cos (2 x - \frac{3}{4} π) - \frac{5}{2}$ , ∵ $- 1 \leq cos (2 x - \frac{3}{4} π) \leq 1,$ ∴ $F' (x) \neq 0$ . 则直线 $5 x + 2 y + c = 0$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象不相切. 评注:本题第(1)(2)问是三角函数中最基本的问题，第(3)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本概念，也是每个同学应该掌握的.

5、(2006山东临汾模拟17)已知集合

A = {x | | x - a | < a x, a > 0}, 若 f (x) = sin (π x) - cos (π x)

在

A

上是增函数，求

a

的最大值.

提示	示范
由 $f (x)$ 在 $A$ 上是增函数，知 $A$ 应包含于 $f (x)$ 的增区间，故需简化，求 $f (x)$ 的单调增区间.
解:由 $\| x - a \| < a x$ 得 ${(x - a < a x,), (x - a ≻ a x)$ , ∴ ${\begin{cases} (1 - a) x < a \\ (1 + a) x > a \end{cases} (a > 0)$ 当 $1 - a > 0$ ,即 $0 < a < 1$ 时， ${(x < \frac{a}{1 - a},), (x > \frac{a}{1 + a})$ ∴ $A = {x \| \frac{a}{1 + a} < x < \frac{a}{1 - a}}$ . $f (x) = \sqrt{2} sin (π x - \frac{π}{4})$ ，由 $2 k π - \frac{π}{2} \leq π x - \frac{π}{4} \leq 2 k π + \frac{π}{2}$ 得 $2 k - \frac{1}{4} \leq x \leq 2 k + \frac{3}{4}$ . ∵ $f (x)$ 在 $A$ 上为增函数， ∴ ${\begin{cases} \frac{a}{1 + a} \geq 2 k - \frac{1}{4} \\ \frac{a}{1 - a} \leq 2 k + \frac{3}{4} \end{cases} (k \in ℤ)$ ∵ $0 < \frac{a}{1 + a} < 1, \frac{a}{1 - a} > 1$ ,∴ $k = 0$ . ∴ ${\begin{cases} \frac{a}{1 + a} \geq - \frac{1}{4} \\ \frac{a}{1 - a} \leq \frac{3}{4} \end{cases}$ ∴ $0 < a \leq \frac{3}{7}$ ，即 $a$ 的最大值为 $\frac{3}{7}$ . 当 $1 - a < 0$ 即 $a > 1$ 时候， $A = {x \| x > \frac{a}{1 + a}}$ ，与 $f (x)$ 在 $A$ 上单调增不符；当 $1 - a = 0$ 即 $a = 1$ 时候， $A = {x \| x > \frac{a}{1 + a}}$ ，与 $f (x)$ 在 $A$ 上单调增不符；综上得 $a$ 的最大值为 $\frac{3}{7}$ . 评注:① $f (x)$ 的单调递增区间有无数多个， $A$ 包含于哪个单调区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看 $A$ 的端点的范围. ②解本题分类讨论时，应先讨论 $a > 1$ 的情况，因为 $a > 1$ 时若有最大值，则不再需要讨论 $a \leq 1$ 的情况．

考能训练(1)

1、(2006江苏南京模拟6)已知函数

f (x)

满足

f (x) = f (π - x)

，且当

x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})

时，

f (x) = x + sin x

，设

a = f (1)

，

b = f (2)

，

c = f (3)

，则( )
A．

a < b < c

B．

b < c < a

C．

a < b < a

D．

c < a < b

2、定义在R上的偶函数

f (x)

满足

f (x + 2) = f (x)

，且

f (x)

在[-3，-2]上是减函数，

α ， β

是锐角三角形的两内角，则 ( )
A．

f (sin α) > f (cos β)

B．

f (cos α) > f (sin β)

C．

f (sin α) > f (sin β)

6 D．

f (cos α) > f (cos β)

3、若

0 < x < \frac{π}{2}

，则

2 x

与

3 sin x

的大小关系是( )
A．

2 x > 3 sin x

B．

2 x < 3 sin x

C．

2 x = 3 sin x

D．与

x

的取值有关
4、在△ABC中，

tan A tan B > 1

，则△ABC是(   )
      A．直角三角形     B．锐角三角形    C．钝角三角形     D．等边三角形
    5、(2005全国高考Ⅰ11)在△ABC中，已知tan_A+厂B—sinC，下列四个论断中正确的是(   )
    ①

tan A • cot B = 1

②

0 < sin A + sin B \leq \sqrt{2}

③

{sin}^{2} A + {cos}^{2} B = 1

④

{cos}^{2} A + {cos}^{2} B = {sin}^{2} C

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
6、如图，货轮在海上以40km／h的速度由

B

向

C

航行，航行的方位角

∠ N B C = 140 °

，A处有灯塔，其方位角

∠ N B A = 110 °

，在

C

处观察灯塔

A

的方位角

∠ N C A = 35 °

，由

B

到

C

需航行半小时，则

C

到灯塔

A

的距离是______．

    7、(2006山东潍坊高三统考，理13)等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ．若 $P 、 Q$ 为斜边 $B C$ 的三等分点，则 $tan ∠ P A Q =$ ______．
    8、△ABC中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 的对边，设 $f (x) = a x^{2}^2 - (a^{2} - b^{2}) x - 4 c^{2}$ 其中 $x \in R$ 。
    (1)若 $f (1) = 0$ 且 $B = C + \frac{π}{3}$ 等，试求角 $A 、 B 、 C$ 的大小；
    (2)若 $f (2) = 0$ ，求角 $C$ 的取值范围．
    9、(2005辽宁高考，理18)如图，在直径为1的圆 $O$ 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 $y > x > 0$ ．
    (1)将十字形的面积表示 $θ$ 的函数；
    (2) $θ$ 为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?

10、(探究创新题)如图，已知圆

O'

过定点

A (0 ， p) (p > 0)

，圆心

O'

在抛物线

x^{2} = 2 p y

上运动，

M N

为圆在

x

轴上截得的弦，令

| A M | = d_{1}

，

| A N | = d_{2}

，

∠ M A N = θ

．
(1)当

O'

点运动时，

| M N |

是否有变化?证明你的结论．
(2)求

\frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{d_{1}}{d_{2}}

的最大值，并求取得最大值时的

θ

值．

考能训练(2)

    方法感悟
    1．利用单位圆、三角函数的图象及数轴求三角函数的定义域．
    2．求三角函数值域的常用方法
    求三角函数的值域，除了前面函数一章介绍的判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法．
    (1)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为

y = a {sin}^{2} x + b sin x + c

型的值域问题．
(2)利用

sin x ， cos x

的有界性求值域．
    (3)换元法
    利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意其等价性．
    3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解．若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解．
    4．判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域的对称性．
    5．三角函数最小正周期的求法．主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如

y = A sin (ω x + ϕ)

的形式，但要注意变形前后的等价性，另外还有图象法和定义法．总之，求函数的单调区间、周期及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，如函数

y = sin (- x)

与

y = sin x

在同一区间的增减性是相反的，因为

sin (- x) = - sin x

．
6．五点法作

y = A sin (ω x + ϕ)

的简图．五点取法是：设

X = ω x + ϕ

，X取

0 、 \frac{π}{2} 、 π 、 \frac{3 π}{2} 、 2 π

来求相应的

x

值及对应的

y

值，再描点作图．
7．在用图象作图象时，提倡先平移后压缩(伸展)．但先压缩(伸展)后平移也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母

x

而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．
8．给定图象确定解析式了

y = A sin (ω x + ϕ)

的题型，有时从寻找“五点法”中的第一零点

(- \frac{ϕ}{ω} ， 0)

作为突破口要从图象的升降情况找准第一零点的位置．

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