§4.1 三角变换

第四章三角函数
§4.1 三角变换

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
    2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式：
       `sin^2alpha+cos^2alpha=1`,`sinalpha/cosalpha=tanalpha`,`tanalphacotalpha=1`
       掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．
    3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
    4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
    5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数`y=Asin(omegax+varphi)`的简图，理解`A、omega、varphi`的物理意义．
    6．会用已知三角函数值求角，并会用符号`arcsinx、arccosx、arctanx`表示．
    7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

1、已知角`beta`的终边与函数`y=-2|x|`的图象重合，求`sinbeta和cosbeta`的值．

提示	示范
分别求出.
解:(1) ∵角`beta`的终边与函数`y=-2\|x\|`的图象重合， ∴`beta`是第三或第四象限角．若`beta`是第三象限角，则取其终边上任一点`P(m，2m)(m<0)`，此时，`r=\|OP\|=-sqrt(5)m`， ∴`sinbeta=y/r=(2m)/(-sqrt(5)m)=-(2sqrt(5))/5,cotbeta=x/y=1/2` 若`beta`第四象限角，则取其终边上任一点`P'(n，-2n)(n>0)`，此时，`r=\|OP'\|=sqrt(5)n`， ∴`sinbeta=y/r=-(2sqrt(5))/5,cotbeta=x/y=-1/2`．评注:①定义是一切基本问题的出发点，是打开知识宝库的金钥匙．任意角的三角函数的定义是所有三角公式的根源，可用来直接解题．更重要的是用来推出同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦、正切等众多公式． ②三角函数值的大小与点`P`在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．本例还应注意函数`y=-2\|x\|`的图象为两条射线，故得出两种答案，不应遗漏 .

    2、(2006年高考安徽卷)已知`(3pi)/4<alpha<pi`，`tanalpha+cotalpha=-10/3`.
    (1)求`tanalpha`的值；
    (2)求`(5sin^2(alpha/2)+8sin(alpha/2)cos(alpha/2)+11cos^2(alpha/2)-8)/(sqrt(2)(alpha-pi/2))`．

提示	示范
将题中.
解:(1)由`tanalpha+cotalpha=-10/3`，得`3tan^2alpha+10tanalpha+3=0`，即`tanalpha=-3`或`tanalpha=-1/3`．又`(3pi)/4<alpha<pi`，所以`tanalpha=-1/3`为所求． (2)`(5sin^2(alpha/2)+8sin(alpha/2)cos(alpha/2)+11cos^2(alpha/2)-8)/(sqrt(2)(alpha-pi/2))` =`(5(1-cosalpha)/2+4sinalpha+11(1+cosalpha)/2-8)/(-sqrt(2)cosalpha)` =`(5-5cosalpha+8sinalpha+11+11cosalpha-16)/(-2sqrt(2)cosalpha)` =`(8sinalpha+6cosalpha)/(-2sqrt(2)cosalpha)` =`(8tanalpha+6)/-2sqrt(2)`=`-5sqrt(2)/6`. 评注: 已知某些三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，关键是消除已知条件式与所求式的差异．．

3、(2005年高考天津卷)已知`sin(alpha-pi/4)=7sqrt(2)/10`等等，`cos2alpha=7/25`．求`sinalpha`及`tan(alpha+pi/3)`.

提示	示范
`C_U.
解:法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 `(7sqrt(2))/10=sin(alpha-pi/4)=sqrt(2)/2(sinalpha-cosalpha)`，即`sinalpha-cosalpha=7/5`． ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 `7/25=cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha` =`(cosalpha-sinalpha)(cosalpha+sinalpha)` =`-7/5(cosalpha+sinalpha)`，故`(cosalpha+sinalpha)=-1/5`． ② 由①式和②式得 `sinalpha=3/5,cosalpha=-4/5`．因此，`tanalpha=-3/4`，由两角和的正切公式得 `tan(alpha+pi/3)=(tanalpha+sqrt(3))/(1-sqrt(3)tanalpha)` =`(sqrt(3)-3/4)/(1+(3sqrt(3))/4)` =`(4sqrt(3)-3)/(4+3sqrt(3))` =`(48-25sqrt(3))/11`. 法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 `7/25=cos2alpha=1-2sin^2alpha`，解得`sin^2alpha=9/25`．即`sinalpha=±3/5`．由`sin(alpha-pi/4)=(7sqrt(2))/10`可得`sinalpha-cosalpha=7/5`．由于`sinalpha=7/5+cosalpha>0`，且`cosalpha=sinalpha-7/5<0`，故`alpha`在第二象限．于是`sinalpha=3/5`．从而`cosalpha=sinalpha-7/5=-4/5`．以下同解法一．评注:本小题考查两角和与差的三角公式、倍角公式等基础知识．考查基本运算能力．灵活运用这些公式，是解决此类题目的关键．

    4、(2005全国高考Ⅱ19)`△ABC`中，内角`A，_B，C`的对边分别为`a，b，c`．已知`a，b，c`成等比数列，且`cosB=4/3`．
    (1)求`cotA+cotC`的值，
    (2)设`vec(BA)*vec(BC)=3/2`，求`a+c`的值

提示	示范
`a、b、c`分别为`△ABC`内角`A，B，C`的对边，且`a、b、c`成等比数列．易知求解中要用到正弦定理；求`cotA+cotC`的值，首先应该对其适当变形，变形时。既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算．第(Ⅱ)问涉及平面向量的数量积，可以先得到`ac`的值，再由余弦定理计算出`a^2+b^2`，即可得`a+c`的值．
解:解法1：(I)由`cosB=3/4`得`sinB=sqrt(1-(3/4)^2)=sqrt(7)/4`．由`b^2=ac`正弦定理得 `sin^2B=sinAsinC`，于是`cotA+cotC` =`1/tanA+1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC` =`(sinCcosA+cosC+sinA)/(sinAsinC)=sin(A+C)/sin^2B` =`sinB/sin^2B=1/sinB=4/7sqrt(7)`. (Ⅱ)由`vec(BA)vec(BC)=3/2`得`cacosB=3/2`．由`cosB=3/4`，可得`ca=2`，即`b^2=2`. 由余弦定理 `b^2=a^2+c^2-2accosB` 得`a^2+c^2=b^2+2accosB=5`，`(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=5+4=9`, 所以`a+c=3`．评注:本题将三角函数、等比数列及向量知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握．而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理．这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容．而且计算并不繁琐．在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查．注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性。坚持多角度的考查．全面考查综合数学素养的要求．本题难易适中，容易入手，只要熟练掌握了三角函数的基础知识，就可以做出本题的大部分。所以复习时关键在于对基础知识的掌握．然后才是综合分析及灵活运用知识能力的培养．

    5、(2004浙江高考理17)在`△ABC`中，角`A、B、C`所对的边分别为`a、b、c`，且`cosA=1/3`．
    (1)求`sin^2((B+C)/2)+cos2A`的值；
    (2)若`a=sqrt(3)`，求`bc`的最大值．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)由`sin^2((B+C)/2)+cos2A` =`1/2[1-cos(B+C)]+(2cos^2A-1)` =`1/2(1+cosA)+(2cos^2A-1)` =`1/2(1+1/3)+2/9-1=-1/9`. (2)∵`(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=cosA` ∴`2/3bc=b^2+c^2-a^2≥2bc-a^2` ∴`bc≤3/4a^2`. ∵`a=sqrt(3)`, ∴`bc≤9/4` 当且仅当`b=c=3/2`时,`bc=9/4`．故`bc`的最大值是`9/4`. 评注:本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力．

本课件完全公益，使用过程中有任何问题，或想参与新课件制作，请加开心教练QQ：29443574。