§4.1 三角变换

第四章三角函数
§4.1 三角变换

考纲展示

专题结构

命题特点

考点案例

考能训练

方法感悟

    一、考纲展示
    1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
    2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式：

{sin}^{2} α + {cos}^{2} α = 1

\frac{sin α}{cos α} = tan α

tan α cot α = 1

       掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．
    3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
    4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
    5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数

y = A sin (ω x + ϕ)

的简图，理解

A 、 ω 、 ϕ

的物理意义．
6．会用已知三角函数值求角，并会用符号

a r c sin x 、 a r o s x 、 a r c tan x

表示．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

考点案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

1、已知角 $β$ 的终边与函数 $y = - 2 | x |$ 的图象重合，求 $sin β 和 cos β$ 的值．

提示	示范
分别求出.
解:(1) ∵角 $β$ 的终边与函数 $y = - 2 \| x \|$ 的图象重合， ∴ $β$ 是第三或第四象限角．若 $β$ 是第三象限角，则取其终边上任一点 $P (m ， 2 m) (m < 0)$ ，此时， $r = \| O P \| = - \sqrt{5} m$ ， ∴ $sin β = \frac{y}{r} = \frac{2 m}{- \sqrt{5} m} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, cot β = \frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ 若 $β$ 第四象限角，则取其终边上任一点 $P' (n ， - 2 n) (n > 0)$ ，此时， $r = \| O P' \| = \sqrt{5} n$ ， ∴ $sin β = \frac{y}{r} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, cot β = \frac{x}{y} = - \frac{1}{2}$ ．评注:①定义是一切基本问题的出发点，是打开知识宝库的金钥匙．任意角的三角函数的定义是所有三角公式的根源，可用来直接解题．更重要的是用来推出同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦、正切等众多公式． ②三角函数值的大小与点 $P$ 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．本例还应注意函数 $y = - 2 \| x \|$ 的图象为两条射线，故得出两种答案，不应遗漏 .

2、(2006年高考安徽卷)已知

\frac{3 π}{4} < α < π

，

tan α + cot α = - \frac{10}{3}

.
(1)求

tan α

的值；
(2)求

\frac{5 {sin}^{2} (\frac{α}{2}) + 8 sin (\frac{α}{2}) cos (\frac{α}{2}) + 11 {cos}^{2} (\frac{α}{2}) - 8}{\sqrt{2} (α - \frac{π}{2})}

．

提示	示范
将题中.
解:(1)由 $tan α + cot α = - \frac{10}{3}$ ，得 $3 {tan}^{2} α + 10 tan α + 3 = 0$ ，即 $tan α = - 3$ 或 $tan α = - \frac{1}{3}$ ．又 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ，所以 $tan α = - \frac{1}{3}$ 为所求． (2) $\frac{5 {sin}^{2} (\frac{α}{2}) + 8 sin (\frac{α}{2}) cos (\frac{α}{2}) + 11 {cos}^{2} (\frac{α}{2}) - 8}{\sqrt{2} (α - \frac{π}{2})}$ = $\frac{5 \frac{1 - cos α}{2} + 4 sin α + 11 \frac{1 + cos α}{2} - 8}{- \sqrt{2} cos α}$ = $\frac{5 - 5 cos α + 8 sin α + 11 + 11 cos α - 16}{- 2 \sqrt{2} cos α}$ = $\frac{8 sin α + 6 cos α}{- 2 \sqrt{2} cos α}$ = $\frac{8 tan α + 6}{-} 2 \sqrt{2}$ = $- 5 \frac{\sqrt{2}}{6}$ . 评注: 已知某些三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，关键是消除已知条件式与所求式的差异．．

3、(2005年高考天津卷)已知

sin (α - \frac{π}{4}) = 7 \frac{\sqrt{2}}{10}

等等，

cos 2 α = \frac{7}{25}

．求

sin α

及

tan (α + \frac{π}{3})

提示	示范
$C_{U} .$
解:法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 $\frac{7 \sqrt{2}}{10} = sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (sin α - cos α)$ ，即 $sin α - cos α = \frac{7}{5}$ ． ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 $\frac{7}{25} = cos 2 α = {cos}^{2} α - {sin}^{2} α$ = $(cos α - sin α) (cos α + sin α)$ = $- \frac{7}{5} (cos α + sin α)$ ，故 $(cos α + sin α) = - \frac{1}{5}$ ． ② 由①式和②式得 $sin α = \frac{3}{5}, cos α = - \frac{4}{5}$ ．因此， $tan α = - \frac{3}{4}$ ，由两角和的正切公式得 $tan (α + \frac{π}{3}) = \frac{tan α + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} tan α}$ = $\frac{\sqrt{3} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3 \sqrt{3}}{4}}$ = $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{4 + 3 \sqrt{3}}$ = $\frac{48 - 25 \sqrt{3}}{11}$ . 法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 $\frac{7}{25} = cos 2 α = 1 - 2 {sin}^{2} α$ ，解得 ${sin}^{2} α = \frac{9}{25}$ ．即 $sin α = \pm \frac{3}{5}$ ．由 $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ 可得 $sin α - cos α = \frac{7}{5}$ ．由于 $sin α = \frac{7}{5} + cos α > 0$ ，且 $cos α = sin α - \frac{7}{5} < 0$ ，故 $α$ 在第二象限．于是 $sin α = \frac{3}{5}$ ．从而 $cos α = sin α - \frac{7}{5} = - \frac{4}{5}$ ．以下同解法一．评注:本小题考查两角和与差的三角公式、倍角公式等基础知识．考查基本运算能力．灵活运用这些公式，是解决此类题目的关键．

4、(2005全国高考Ⅱ19)

△ A B C

中，内角

A ，_{B} ， C

的对边分别为

a ， b ， c

．已知

a ， b ， c

成等比数列，且

cos B = \frac{4}{3}

．
(1)求

cot A + cot C

的值，
(2)设

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{3}{2}

，求

a + c

的值

提示	示范
$a 、 b 、 c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a 、 b 、 c$ 成等比数列．易知求解中要用到正弦定理；求 $cot A + cot C$ 的值，首先应该对其适当变形，变形时。既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算．第(Ⅱ)问涉及平面向量的数量积，可以先得到 $a c$ 的值，再由余弦定理计算出 $a^{2} + b^{2}$ ，即可得 $a + c$ 的值．
解:解法1：(I)由 $cos B = \frac{3}{4}$ 得 $sin B = \sqrt{1 - {(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ．由 $b^{2} = a c$ 正弦定理得 ${sin}^{2} B = sin A sin C$ ，于是 $cot A + cot C$ = $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan C} = \frac{cos A}{sin A} + \frac{cos C}{sin C}$ = $\frac{sin C cos A + cos C + sin A}{sin A sin C} = \frac{sin (A + C)}{{sin}^{2}} B$ = $\frac{sin B}{{sin}^{2}} B = \frac{1}{sin B} = \frac{4}{7} \sqrt{7}$ . (Ⅱ)由 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{3}{2}$ 得 $c a \cdot cos B = \frac{3}{2}$ ．由 $cos B = \frac{3}{4}$ ，可得 $c a = 2$ ，即 $b^{2} = 2$ . 由余弦定理 $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos B$ 得 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + 2 a c \cdot cos B = 5$ ， ${(a + c)}^{2} = a^{2} + c^{2} + 2 a c = 5 + 4 = 9$ , 所以 $a + c = 3$ ．评注:本题将三角函数、等比数列及向量知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握．而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理．这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容．而且计算并不繁琐．在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查．注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性。坚持多角度的考查．全面考查综合数学素养的要求．本题难易适中，容易入手，只要熟练掌握了三角函数的基础知识，就可以做出本题的大部分。所以复习时关键在于对基础知识的掌握．然后才是综合分析及灵活运用知识能力的培养．

5、(2004浙江高考理17)在

△ A B C

中，角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

，且

cos A = \frac{1}{3}

．
(1)求

{sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) + cos 2 A

的值；
(2)若

a = \sqrt{3}

，求

b c

的最大值．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)由 ${sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) + cos 2 A$ = $\frac{1}{2} [1 - cos (B + C)] + (2 {cos}^{2} A - 1)$ = $\frac{1}{2} (1 + cos A) + (2 {cos}^{2} A - 1)$ = $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{3}) + \frac{2}{9} - 1 = - \frac{1}{9}$ . (2)∵ $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = cos A$ ∴ $\frac{2}{3} b c = b^{2} + c^{2} - a^{2} \geq 2 b c - a^{2}$ ∴ $b c \leq \frac{3}{4} a^{2}$ . ∵ $a = \sqrt{3}$ , ∴ $b c \leq \frac{9}{4}$ 当且仅当 $b = c = \frac{3}{2}$ 时, $b c = \frac{9}{4}$ ．故 $b c$ 的最大值是 $\frac{9}{4}$ . 评注:本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力．

考能训练(1)

1、(2005全国高考Ⅱ1)函数

f (x) = | sin x + cos x |

的最小正周期是( )
A．

\frac{π}{4}

B．

\frac{π}{2}

C．

π

D．

2 π

2、(2005全国高考Ⅱ4)已知函数

y = tan ω x

在

(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})

内是减函数，则( )
A．

O < ω \leq 1

B．

- 1 \leq ω < O

C．

ω \geq 1

D．

ω \leq - 1

3、(2006山东潍坊模拟)已知函数

f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)

在

x = \frac{π}{4}

处取得最小值，则( )
A．

f (x + \frac{π}{4})

一定是偶函数
B．

f (x + \frac{π}{4})

一定是奇函数
C．

f (x + \frac{π}{4})

一定是偶函数
D．

f (x + \frac{π}{4})

一定是奇函数
4、(2006山东济宁二模)定义在R上的偶函数

f (x)

满足

f (x + 2) = f (x)

，且

f (x)

在[-3，-2]上是减函数，又

α ， β

是锐角三角形的两内角，则( )
A．

f (sin α) > f (cos β)

B．

f (cos α) > f (sin β)

C．

f (sin α) > f (sin β)

D．

f (cos α) > f (cos β)

5、(2006山东济宁模拟)函数

y = x cos x - sin x

在下面哪个区间内是增函数?( )
A．

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

B．

(π, 2 π)

C．

(\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2})

D．

(2 π, 3 π)

6、设

α

为第四象限的角，若

\frac{sin (3 α)}{sin α} = \frac{13}{5}

，则

tan 2 α

=______．

7、关于函数

f (x) = 4 sin (2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)

，有下列命题：
①由

f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0

可得

x_{1} M x_{2}

必是

π

的整数倍；
②

y = f (x)

的表达式可改写为

y = cos (2 x - \frac{π}{6})

；
③

y = f (x)

)的图象关于点

(- \frac{π}{6} ， 0)

对称；
④

y = f (x)

的图象关于直线

x = - \frac{π}{6}

对称．
其中正确的命题序号是______．
8、(2006山东济宁二模,理1)在△ABC中，

a 、 b 、 c

分别是角

A 、 B 、 C

的对边,

\vec{x} = (2 a + c, b)

\vec{y} = (cos B, cos C)

,且

\vec{x} \cdot \vec{y} = 0

.
(1)求角

B

的大小；
(2)若

b = \sqrt{3}

，求

a + c

的最大值．
9、设二次函数

f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)

，已知不论

α 、 β

为何实数恒有

f (sin α) \geq O

和

f (2 + cos β) \leq 0

.
(1)求证：

b + c = - 1

；
(2)求证：

c \geq 3

；
(3)若函数

f (sin α)

的最大值为8，求

b ， c

的值．
10、(探究创新题)把曲线

C ： y = sin (\frac{7 π}{8} - x) cos (x + \frac{π}{8}) 向

右平移

a (a > O)

个单位，得到的曲线

G

关于直线

x = \frac{π}{4}

对称．
(1)求

a

的最小值；
(2)是否存在实数

a

使曲线

C

与曲线

G

关于

y

轴对称?若存在，求出

a

的值；若不存在，请说明理由.

考能训练(2)

    方法感悟
    1．本节公式较多，要对公式的来龙去脉了解清楚，把握住公式的结构，这样才能准确地应用公式，同时注意公式的正用逆用、变形应用．
    2．转化的思想是实施三角变换的主导思路，变换包括函数名称变换、角的变换、1的变换、幂的升降变换等等．
    3．恒等变形前需分析已知式中角的差异，函数名称的差异，寻求联系，实现转化．
    4．条件等式的证明．注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式．
    常用的三角变换：
    (1)角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件．
    如

2 α = (α + β) + (α - β)

，

2 β = (α + β) - (α - β)

，

α = \frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}

，

β = \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}

，

α = \frac{2 α}{2} = (α + β - β)

．
(2)函数名称变换：主要是切割化弦、弦切互换、正余弦互换、正余切互换．
如：

tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{1}{cot α} = \frac{2 tan (\frac{α}{2})}{1 - {tan}^{2} (\frac{α}{2})} = \pm \sqrt[]{{sec}^{2} α - 1}

．

sin α = tan α \cdot cos α = \frac{1}{csc α} = \pm \sqrt[]{1 - {cos}^{2} α}

等。

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