§1.1 集合的概念与运算

专题6 应用性
　

网络结构

要点归纳

典型案例

应用训练

思想感悟

网络结构

    要点归纳
    一、应用题的主要特点
    密切结合课本，考查本学科的重点内容(如函数、数列、不等式等)，同时，结合我国的实际情况和当前改革开放的有关热点问题(如人口、土地、金融、投资、环保等)编拟试题，突出数学在解决实际问题中的应用价值，同时也对学生进行了国情教育．
    二、解题策略
    解应用题的关键是建立数学模型，按题中建立数学模型所用数学知识和方法的特征予以分类，主要有建立函数模型、方程或不等式模型及数列模型，此外还有排列组合概率模型、几何模型、图表模型等．
    1．函数模型
    函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决．
    (1)根据题意，熟练地建立函数模型；
    (2)运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型．
    2．几何模型
    诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质或用方程、不等式或用三角函数知识来求解．
    3．数列模型
    在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决．在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形人手，再寻找一般的规律．
    三、解答应用题的一般步骤
    1．审题：阅读理解文字表达式的题意，分清条件和结论，理顺数量关系．
    2．建模：按问题的主要关系列式，将实际问题抽象成数学问题，建构数学模型，这是最关键的一步．
    3．求解：求解数学模型(如方程、不等式、递推式的通项、概率等)，获取数学上的结论．此步骤需注意两点：(1)充分注意这个数学问题中元素的实际意义；(2)注意巧妙构思，简化解题过程．
    4．返回(验证)：将3的结果返回到实际问题，然后作答．
    四、解实际问题时要注意以下几点
    1．透彻地理解题意，要在实际问题的情景中去理解、分给出的问题，清理问题所需要的实质性因素，舍弃与解题无关的非本质性的东西．
    2．弄清和牢记已知问题中的已知条件．能否审清题目的已知条件是关系到能否解题成功的重要环节．在解题时，除了弄清和牢记题目中的明显的已知条件外，还必须通过问题可能涉及到的概念、定义、定理、图形等，将隐含的条件充分地挖掘出来．
    3．寻找已知条件与结论之间的内在联系，探索解题思路；
    4．准确地抽象出模型，转化为数学问题．将实际问题抽象为某种(或几种)数学模型，运用数学式子加以描述，使实际问题得以转化，成为所熟悉的纯数学问题，然后解之．
　

    典型案例
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到了控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染病毒的总共有8 670人．问：11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数．

提示

示范

    2、设（06福建高考，19）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行使速度x(千米／时)的函数解析式可以表示为y＝1/128000x^3-3/80x+8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
   (1)当汽车以40千米／时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?
   (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

提示	示范
将题中.
解: (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了100/40＝2．5小时，要耗油 (1/128000xx40^3-3/80xx40+8)X2．5＝17．5(升)．答：当汽车以40千米／时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升． (2)当速度为x千米／时，汽车从甲地到乙地行驶了100/x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得`h(x)＝(1/128000x^3-3/80x+8)·100/x=1/1280x^2-800/x-15/4(0<x<=120)．` h'(x)=x/640-800/(x^2)=(x^3-80^3)/640x^2,(0<x<=120) 令h'(x)＝0，得x＝80．当xin(0，80)时，h'(x)<0，h(x)是减函数；当xin(80，120)时，h'(x)>0，h(x)是增函数． :.当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11．25． :.h(x)在(0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米／时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升．评注: 本题是通过建立函数模型，用导数知识解决实际问题，令h'(x)＝0得x＝x_0，x_0是否h(x)的极值点，这还要考查函数h(x)的导函数h'(x)在x<x_0和x>x_0两区间上的符号．

    3、假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，
   (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?
   (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?

提示

示范

4、如图4—1所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km／h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500km且与海岸距离为300km的海上M处有一快艇与汽车同时出发，要把一件重要物品递送给这
辆汽车的司机，问快艇至少必需以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中?并求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与OM所成的角．

提示	示范
出发点O、M及相遇点正好构成一个三角形．设好恰当的未知数，将相应的边角关系表示为函数关系，再求最值．
图4—2 解:如图—2，设快艇从M处以`vkm／h`的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇，MQ为点M到ON的距离。在`DeltaMON`中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，设/_MON＝alpha， ` 由题意知`sinalpha＝3/5，则COSalpha＝4/5，由余弦定理，知MN^2＝OM^2+ON^2-20M·ON·COSalpha，` 即`(vt)^2＝500^2+100^2t^2-2xx500xx100txx4/5，.:v^2＝500^2xx1/t^2-2xx500xx80xx1/t+100` `=(500/t-80)^2+3600,` 当`1/t=80/500,即t=25/4时，v_(min)^2=3600,即V_(min)=60 .:快艇必需至少以60km/h的速度行驶。` 此时`MN=60xx25/4=15xx25=375.又:.MQ=300,设/_ONM=beta,` `.:sinbeta=MQ/MN=300/375=4/5,.:alpha+beta=90度，` `.:MN与OM成直角，即快艇以最小速度60 km／h行驶时的行驶方向与OM所成的角为直角．` 评注:(1)三角函数在实际问题中的应用，关键是弄清实际问题的背景，尤其要注意结合图形，转化为解三角形问题，分析观察边角关系，以选取适当的式子． (2)在涉及最值问题时，要会灵活运用二次函数、均值定理等知识来解决问题．

    5、由如图4—3所示，公园里有一块边长为2a的正三角形草坪，图中DE把草坪分成等积的两部分，D在AB上，E在AC上.
   (1)设AD＝x，ED＝y，求y关于x的函数关系式；
   (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，那么DE的位置应设在哪里?如果DE是参观路线，则希望它最长，DE的位置又应设在哪里?请予以证明．

图4—3

提示	示范
必须先用x的代数式表示AE，以下才有条件用x的代数式表示y．
解:(1)`设AE＝t，:.s_(DeltaADE) =1/2 s_(DeltaABC) ` `即1/2txsinA=1/2·1/2(2a)^2sinA,.:tx=2a^2,t=2a^2/x.` 由余弦定理`y^2=x^2+t^2-2txcosA,即y^2=x^2+4a^4/x^2-2a^2,` `.:y>0,.:所求y与x的函数关系式为y=sqrt(x^2+4a^4/x^2-2a^2 ),(0<x<=2a)` (2)`y与y^2有相同的单调性，且(y^2)'=2x=8a^4/x^3设(y^2)'=0，则2x^4-8a^4=0,得x=sqrt2a` 当`x=sqrt2a时，y_(min)=sqrt2a` 当x=2a时，`y_(max)=sqrt3a` 答：为使DE最短，应使`AD＝sqrt2a(此时DeltaADE为正三角形)`；为使DE最长，应使AD＝2a(即D与B重合，此时E在AC中点)．评注:本题用二次函数或均值不等式均可求最小值，但无法求最大，以下再求最大又需分析函数的单调性，故此处通过求导，可以一举两得，另外，不能取x=0，因为按题意D在AB上，E在AC上，若，则D与A重合，而E必在BC上。

应用训练(1)

     1.一批救灾物资随26辆汽车从某市以V千米／时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两汽车间距不得小于`(V/20)^2`千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要………………………………( )
    A．5小时 B．10小时 C．15小时 D．20小时
     2.路灯距地平面为8m，一个身高为1．7m的人以1．`4m／s`的速度匀速地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为 ………………………( )
    ` A．17/45 m/s B．17/46 m/s    C. 17/63 m/s D．29/66 m/s`
    3.(06陕西高考，12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文->密文(加密)，接收方由密文->明文(解
密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ………………………………………………( )
    A．1，6，4，7     B．6，4，1，7   C．7，6，1，4     D．4，6，1，7
   4.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关
系式为`R(x)＝{(400x-1/2x^2，0<=x<=400)，(80000，x>400):} 0≤I≤400，`则总利润最大时，每年生产的产品是…………………( )
    A．100 B．150 C.200 D．300
    5.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，依名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖金……………………( )
    A．250万元    B．252万元   C．254万元    D．256万元
    6.国庆节期间一游客在东湖的游船上仰看空中一飞艇的仰角为15^o，又俯看飞艇在湖中的映影俯角为45^o，已知该游客在船上距湖面的高度为5米，则飞艇距湖面的高度为_______米．(不考虑水的折射)
    7.(06天津高考，15)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_______吨
    8.某村计划建造一个室内面积为`800 m^2`的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

　

应用训练(2)

本课件完全公益，使用过程中有任何问题，或想参与新课件制作，请加开心教练QQ：29443574。