${\displaystyle (30-n)(50n-60)+\frac{(30-n)(29-n)}{2}\times (-30)．由题意，8670＝20n+\frac{n(n-1)}{2}\times 50+(30-n)(50n-60)+}$
${\displaystyle \frac{(30-n)(29-n)}{2}\times (-30)，化简得n^2—61n+588＝0，}$
${\displaystyle \because n＝12或n=49(舍去)．}$
   第12日新增患者人数为${\displaystyle 20+(12-1)\times 50＝570．}$
   答：第12日新患者人数最多，为570人．

   评注:本题是通过建立数列模型，用数列知识解决实际问题，其中“新感染者”和"从某天起”是实际问题的“关键点”，解题时要充分领悟．

则S_n＝250n+[n(n-1)]/2xx50=25n^2+225n．
令25n^2+225n≥4 750，即n^2+9n-190≥0，而n是正整数，.:n≥10．
到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，其中b_1＝400，q＝1．08，

${\displaystyle 则b_n=400·{(1．08)}^{n-1}．由题意可知a_n>0．85b_n，有250+(n-1)50>b_n·0．85．}$

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数为n=6．
.:到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．
   评注:解答数列应用题的关键是在实际问题中建立数列模型，这就需要抓住实际问题中的建模“题眼”．一般地，若离散型(自变量取自然数)的变量之间相差为一个常数(即递增或递减)，即可建立等差数列模型；若属增长率(或递减率)问题，则应建立等比数列模型．
　

      解:如图—2，设快艇从M处以${\displaystyle vkm／h}$的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇，MQ为点M到ON的距离。在${\displaystyle \Delta MON}$中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，设/_MON＝alpha， ${\displaystyle }$
由题意知${\displaystyle sin\alpha ＝\frac{3}{5}，则COS\alpha ＝\frac{4}{5}，由余弦定理，知M{N}^2＝O{M}^2+O{N}^2-20M·ON·COS\alpha ，}$
即${\displaystyle {\left(vt\right)}^2＝{500}^2+{100}^2{t}^2-2\times 500\times 100t\times \frac{4}{5}，\because v^2＝{500}^2\times \frac{1}{t^2}-2\times 500\times 80\times \frac{1}{t}+100}$
${\displaystyle ={(\frac{500}{t}-80)}^2+3600,}$
当${\displaystyle \frac{1}{t}=\frac{80}{500},即t=\frac{25}{4}时，v_{min}^2=3600,即V_{min}=60\because 快艇必需至少以60k\frac{m}{h}的速度行驶。}$
此时${\displaystyle MN=60\times \frac{25}{4}=15\times 25=375.又\therefore MQ=300,设\angle ONM=\beta ,}$
${\displaystyle \because sin\beta =M\frac{Q}{M}N=\frac{300}{375}=\frac{4}{5},\because \alpha +\beta =90度，}$
${\displaystyle \because MN与OM成直角，即快艇以最小速度60km／h行驶时的行驶方向与OM所成的角为直角．}$
   评注:(1)三角函数在实际问题中的应用，关键是弄清实际问题的背景，尤其要注意结合图形，转化为解三角形问题，分析观察边角关系，以选取适当的式子．
       (2)在涉及最值问题时，要会灵活运用二次函数、均值定理等知识来解决问题．
　

${\displaystyle 即\frac{1}{2}txsinA=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}{\left(2a\right)}^{2}sinA,\because tx=2a^2,t=2\frac{a^2}{x}.}$
由余弦定理${\displaystyle y^2=x^2+t^2-2txcosA,即y^2=x^2+4\frac{a^4}{x^2}-2a^2,}$

     (2)${\displaystyle y与y^2有相同的单调性，且\left(y^2\right)\text{'}=2x=8\frac{a^4}{x^3}设\left(y^2\right)\text{'}=0，则2x^4-8a^4=0,得x=\sqrt{2}a}$
当${\displaystyle x=\sqrt{2}a时，y_{min}=\sqrt{2}a}$
当x=2a时，${\displaystyle y_{max}=\sqrt{3}a}$
答：为使DE最短，应使${\displaystyle AD＝\sqrt{2}a(此时\Delta ADE为正三角形)}$；为使DE最长，应使AD＝2a(即D与B重合，此时E在AC中点)．
   评注:本题用二次函数或均值不等式均可求最小值，但无法求最大，以下再求最大又需分析函数的单调性，故此处通过求导，可以一举两得，另外，不能取x=0，因为按题意D在AB上，E在AC上，若，则D与A重合，而E必在BC上。