评注:本题考查探索性在解析几何中的应用．这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．.

   评注: 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问 题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意 ．

    解:${\displaystyle \left(1\right)证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，}$
   
    ∴EB∥FD，且EB=FD．
    ∴四边形EBFD是平行四边形．
    ∴BF∥ED．
    ∵ED${\displaystyle \subset }$平面AED，而BF${\displaystyle \not\subset }$平面AED，
    ∴BF∥平面AED．
    (2)解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．
    过点A作AG上平面BCDE，垂足为G，连结GC、GD．
    ∵△ACD为正三角形，∴AC=AD．
    ∴GC=GD．∴G在CD的垂直平分线上．
    又∵EF是CD的垂直平分线，∴点A在平面BCDE内的 射影G在直线EF上．
    过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，
    ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ．
    设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF．
    在折后图的△AEF中，${\displaystyle AF=\sqrt{3}a，EF=2AE=2a}$，
    ∴△AEF为直角三角形，AG•EF=AE•AF．
    ∴${\displaystyle AG=\frac{\sqrt{3}}{2}a}$．
    在Rt△ADE中，AH•DE=AD•AE，
    ∴${\displaystyle AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}}$．∴${\displaystyle GH=\frac{a}{2\sqrt{5}}}$．
    ∴${\displaystyle cos\theta =\frac{GH}{AH}=\frac{1}{4}}$
   
    解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．
    连结AF，在平面AEF内过点A作AG'⊥EF，垂足为G'．
    ∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
    又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF．
    ∵AG'${\displaystyle \subset }$平面AEF，∴CD⊥AG'．
    又∵AG'⊥EF，且CD${\displaystyle \cap }$EF=F，CD${\displaystyle \subset }$平面BCDE，EF${\displaystyle \subset }$平面BCDE，
    ∴AG'⊥平面BCDE．
    ∴G'为A在平面BCDE内的射影G．
    ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．
    过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．
    ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ．
    设原正方形ABCD的边长为2a．
    在折后图的△AEF中，${\displaystyle AF=\sqrt{3}a，EF=2AE=2a}$，
    ∴△AEF为直角三角形，AG•EF=AE•AF．
    ∴${\displaystyle AG=\frac{\sqrt{3}}{2}a}$．
    在Rt△ADE中，AH•DE=AD•AE，
    ∴AH=(2a)/sqrt(5)．∴${\displaystyle GH=\frac{a}{2\sqrt{5}}}$．
    ∴${\displaystyle cos\theta =\frac{GH}{AH}=\frac{1}{4}}$．
    解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
    连结AF，在平面AEF内过点A作AG'⊥EF，垂足为G'．
    ∵△ACD为正三角形，F为CD中点，
    ∴AF⊥CD．
    又∵EF⊥CD，∴CD⊥平面AEF．
    CD${\displaystyle \subset }$平面BCDE，
    ∴平面AEF⊥平面BCDE．
    又∵平面AEF${\displaystyle \cap }$平面BCDE=EF，AG'⊥EF，
    AG'⊥平面BCDE，即G'为A在平面BCDE内的射影G．
    ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．
    过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，
    ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ．
    设原正方形ABCD的边长为2a．
    在折后图的△AEF中，${\displaystyle AF=\sqrt{3}a，EF=2AE=2a}$，
    ∴△AEF为直角三角形，AG•EF=AE•AF．
    ∴${\displaystyle AG=\frac{\sqrt{3}}{2}a}$．
    在Rt△ADE中，AH•DE=AD•AE，
    ∴AH=(2a)/sqrt(5)．∴${\displaystyle GH=\frac{a}{2\sqrt{5}}}$．
    ∴${\displaystyle cos\theta =\frac{GH}{AH}=\frac{1}{4}}$．

   评注:本题结论是开放的，而条件需要学生自己去探索，需要学生加工信息，调动储存，制定出合理的解题思路，这实 际上是对研究性成果的一种考查．
　

    解:设无盖水箱的长、宽、高分别为a、b、c，则其体积V=abc=5O0${\displaystyle m^3}$，表面积S=2bc+2ca+ab．这样问题可以转化为
    已知a、b、c为正数，abc=5O0．求2bc+2ca+ab的最小值及相应的a、b、c的值．
    由均值不等式，知2bc+2ac+ab≥${\displaystyle 3\sqrt[3]{2bc\cdot 2ac\cdot ab}=3\sqrt[3]{4{\left(abc\right)}^2}=3\sqrt[3]{4{\left(500\right)}^2}}$=300，当且仅当2bc=2ca=ab，
    即a=b=10，c=5时，2bc+2ac+ab=300${\displaystyle m^2}$最小．
    这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2：2：1)时，其用料最省．
    如何选择材料并设计制作方案?
    可用逆向思维，先将无盖长方体展开为平面图形，我们不难发现制作10×10×5的无盖长方体需一个10×lO ${\displaystyle m^2}$的正方形及4个10×5${\displaystyle m^2}$的长方形．
   
    对于30×10${\displaystyle m^2}$的长方形材料，我们只要割四次则可得10×10${\displaystyle m^2}$正方形一个及10×5${\displaystyle m^2}$长方形4个．故选择30×10 ${\displaystyle m^2}$的材料，不但用料最省而且简便易行.

   评注:本题是实际应用问题中的探索型问题，这类问题的 基本特征是给出一定的条件要求设计一种方案．解决这类问题 的基本策略是：需要借助逆向思考动手实践．在解决这类问题 时，除了前面讲过的方法，还需考虑实际意义及可行性．