典型案例
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
1、已知`f(x)`是定义在(-3,3)上的奇函数，当`0<x<3`时，`f(x)`的图象如图8-1所示，那么不等式`f(x)cosx<0`的解集是(
)
A.`(-3,-pi/2)uu(0,1)uu(pi/2,3)` B.`(-pi/2,-1)uu(0,1)uu(pi/2,3)`
C.`(-3,-1)uu(0,1)uu(1,3)` D.`(-3,-pi/2)uu(0,1)uu(1,3)`
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提示 |
示范 |
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利用对称的方法可画全`f(x)`在(-3,3)上的图象 |
解:显然，不能直接解不等式，注意到由已知用对称的方法可画全`f(x)`在(-3,3)上的图象，`cosx`的图象又熟知，运用数形结合，如图8-2
所示，从“形”中找出图象分别在`x`轴上、下部分的对应"数"的区间为`(-pi/2,-1)uu(0,1)uu(pi/2,3)` 。所以应选B。
答案：B
评注:`f(x)`在`y`轴左边的图象可由奇函数图象关于原点对称画出,也用了对称的思想方法。 |
2、［2006浙江高考,12]对 `a、binR`记`max{a,b}={(a,a>=b),(b,a<b):}`函数`f(x)=max{([x+1]),([x-2]):}(x
inR)`的最小值是__________.
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提示 |
示范 |
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在同一坐标系中分别作出其图象 |
解:令`y=[x+1],y=[x-2]`,在同一坐标系中分别作出其图象，如图8-3所示，根据题知函数`f(x)`的图象为图中的射线`PA`、`PB`构成,由`{(y=-x+2),(y=x+1):}`,解得`y=3/2`,
即为函数`f(x)`的最小值。
答案：`3/2`
评注:
运用数形结合的方法解数学题时，要作出所研究函数的图象，这里着重考查的是学生的作图能力。 |
3、[2006年北京高考,5]已知`f(x)={((3a-1)x+4a,x<1),(log_ax,x>=1):}`是`(-oo,+oo)`上的减函数，那么`a`的取值范围是(
)
A.(0,1) B.(0,`1/3`)
C.`[1/7,1/3)` D.`[1/7,1)`
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提示 |
示范 |
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讨论得出函数的形式 |
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解:当`x=1`时,`log_ax=0`,若为`R`上的减函数,则`(3a-1)x+4a>0`在`x<1`时恒成立。
令`g(x)=(3a-1)x+4a`，则`g(x)>0`在`x<1`上恒成立,故`3a-1<0`且`g(1)>=0`,如图8-4.即`{(3a-1<0),(3a-1+4a>=0):}rArr1/7<=a<1/3`.故选C.
答案：C
评注:一次函数的图象是一条直线，`g(x)>0`在`(-oo,1]`上恒成立时的条件中,`3a-1<0`是最容易被遗漏的。 |
4、己知二次函数`y=f_1(x)`的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数`y=f_2(x)`的图象与直线`y=x`的两个交点间的距离为8,`f(x)=f_1(x)+f_2(x)`。
(1)求函数`f(x)`的解析式；
(2)证明当`a>3`时，关于`x`的方程`f(x)=f(a)`有三个实根。
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提示 |
示范 |
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(1)待定系数法设出函数的解析式
(2)利用`f(x)=f_1(x)+f_2(x)`得出列式． |
解:(1)由已知，设`f_1(x)=ax^2`
由`f_1(1)`,得`a=1`,`:.f_1(x)=x^2`
设`f_2(x)=k/x(k>0)`,它的图象与直线`y=x`的交点分别为`A(root()(k),root()(k))、B(-root()(k),-root()(k))`,由|AB|=8,得`k=8`,`:.``f_2(x)=8/x`.故`f(x)=x^2+8/x`.
(2)证法一：由`f(x)=f(a)`,得`x^2+8/x=a^2+8/a`即`8/x=-x^2+8/a`.
在同一坐标系内作出`f_2(x)=8/x`和`f_3(x)=-x^2+a^2+8/a`的大致图象，其中`f_2(x)`的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线。`f_3(x)`的图象是以`(0,a^2+8/a)`为顶点，开口向下的抛物线。
因此`f_2(x)`与`f_3(x)`的图象在第三象限有一交点。
即`f(x)=f(a)`有一个负数解。
又.:`f_2(2)=4`,`f_3(2)=a^2+8/a-4`
当`a>3`时,`f_3(2)-f_2(2)=a^2+8/a-8>0`,
`:.`当`a>3`时在第一象限`f_3(x)`的图象上存在一点`(2,f_3(2))`在`f_2(x)`图象的上方。
`:.``f_2(x)`与`f_3(x)`的图象在第一象限有两个交点。
即`f(x)`=`f(a)`有两个正数解。
因此，方程`f(x)`=`f(a)`有三个实数解。
证法二：由`f(x)=f(a)`,得`x^2+8/x=a^2+8/a`
即`(x-a)(x+a-8/ax)=0`，得方程的一个解`x_1=a`
方程`x+a-8/ax=0`化为`ax^2+a^2x-8=0`,
由`a>3`,`Delta=a^4+32a>0`,得
`x_2=(-a^2-root()(a^4+32a))/(2a)`,
`x_3=(-a^2-root()(a^4+32a))/(2a)`,
则`3a^2=root()(a^4+32a)`,`a^4=4a`,
得`a=0`或`a=root(3)(4)`,这与`a>3`矛盾，
`:.x_1!=x_3`
故原方程有三个实数解。
评注:数形结合思想运用于解答案题时，要写出详尽的文字说明，“形”是辅助，是以“形”为手段来解决函数问题。 |
5、
从原点向圆`x^2+y^2-12y+27=0`作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
A.`pi` B.`2pi`
C.`4pi` D.`6pi`
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提示 |
示范 |
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当试题考查直线与圆的位置关系时，常用数形结合的思想方法，其关键是依题意画出方程的曲线，由图形的几何意义，解答题中问题。 |
解:如图8-6所示，`.:x^2+y^2-12y+27=0,:.x^2+(y-6)^2=9`。`:.`圆心在(0,6),半径为3.设圆心为`M`,切点为`N`，则在`△OMN`中，`OM`=6,`MN`=3，`:./_MON=pi/6`.:.两切线夹角为`pi/3`.
`:.`劣弧所对的圆心角为`2pi/3`。设劣弧长为`l`，:.劣弧所对的圆心角为`l/3=(2pi)/3`,`:.l=2pi`。
答案：B
评注:本题主要考查直线与圆的位置关系，及两直线的夹角等知识点，由以上方法可以看出，数形结合有它独到的优势。 |
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