ch10_04

第十章排列、组合和二项式定理
§10.4 二项式定理

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

二、重点难点
(这里输入)

    三、特别提示
    (1)二项式定理就是一个公式： ${(a + b)}^{n} ＝ C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + \dots + C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$ ( $n \in ℕ$ )．要注意展开式的展开规律及每一项的结构特点，每一项中a、b的幂指数和都是n，等于该项系数中组合数的下标，即二项式 ${(a + b)}^{n} (n \in N^{\cdot})$ 的幂指数，而b的幂指数与系数中组合数的上标一致．
    (2)在通项公式 $T_{r + 1} ＝ C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} (n \in N^{\cdot})$ 中，有五个量n、r、a、b、 $T_{r + 1} ，已知其中四个，可以求第五个，要注意这里有 n \in N^{，} r \in ℕ ， r \leq n 即 r ＝ 0 ， l ， 2 ， \dots ， n ．$
    (3)利用通项公式求二项展开式中的指定的项(如常数项、有理项等)或某些项的系数是二项式定理的基本问题，要正确区分求展开式中的“项”“项的系数…：项的二项式系数”等概念的异同． $如 {(1 + 2 x)}^{5} 的展开式中的第 3 项为 T_{3} ＝ C_{5}^{2} \cdot 1^{3} \cdot {(2 x)}^{2} ＝ 40 x^{2} ，其中该项的系数为 C_{5}^{2} \cdot 2^{2} ＝ 40 ，而该项的二项式系数为 C_{5}^{2} ＝ 10 ．$
    (4)对于二项式定理，不仅要会正用，而且要从整体把握，灵活地应用，如有时可逆用、变形用，对于三项式问题可转化为二项式定理问题去处理．
    (5)对于求多个二项式的和或积及三项式的展开式中某项的系数问题，注意排列、组合知识的应用．
    (6)求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求 ${(a + x)}^{n} ＝ a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} 展开式中各项系数和，可令 x ＝ 1 ，即得各项系数和 a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} 。$ 若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x＝-1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．

知识梳理

    1、二项式定理： ${(a + b)}^{n} ＝ C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + \dots + C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} (n \in ℕ) ．$ 这个公式所表示的定理叫做二项式定理.
    2、几个基本概念
    (1)二项展开式：右边的多项式叫做 ${(a + b)}^{n}$ 的二项展开式，
    (2)项数：二项展开式中共有n+1项．
    (3)二项式系数：在二项展开式中各项的系数 $C_{n}^{r}$ 叫做二项式系数．
    (4)通项：在二项展开式中的 $C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} 叫做二项展开式的通项，用 T_{r + l}$ 表示，即通项为展开式的第r+1项： $T_{r + 1} ＝ C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} .$
    3、二项式系数的性质
    (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
    (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数 $C_{n}^{\frac{n}{2}}$ 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数 $\frac{n - 1}{2} + 1 、 \frac{n + 1}{2} + 1$ 相等，且同时取得最大值．
    (3)各二项式系数和： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} ＝ 2^{n} ， C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots + C_{n}^{偶} = 2^{n - 1}$ ： $C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \dots + C_{n}^{奇} = 2^{n - 1}$
　

    应用举例
    一、应用特点
    1、二项式定理及通项公式的应用
    2、二项展开式的性质的应用
    3、二项式定理的应用

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{3} x)}^{10}$ 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6

提示	示范
本题应运用二项式展开通项公式，并结合题目条件求解．
解:( $\sqrt{x} - \frac{1}{3} x)^{10}$ 的展开式通项为 $C_{12}^{r} {(\sqrt{x})}^{r} \cdot {(- \frac{1}{3} x)}^{10 - r} = C_{10}^{r} {(- \frac{1}{3})}^{10 - r} x^{3 \frac{r}{2} - 10}$ 当r=8，10时，x的指数分别为2，5，因此含x的正整数次幂的项共有2项．选B．答案：B 评注:多项式乘法的进位规则．在求系数过程中，尽量先化简，降底数的运算级别，尽量化咸加减运算，在运算过程可以适当注意特殊值法的运用，例如求常数项，可令x＝0．在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别，

2、若

{(2 x + \sqrt{3})}^{3} ＝ a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} ， 则 {(a_{0} + a_{1})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2}

的值为( )
A．1 B．-l C．0 D．2

提示	示范
将所求的式子化为 ${(a_{0} + a_{1})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2} ＝ (a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3}) (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3}) ，$ $而 a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} ＝ {(2 + \sqrt{3})}^{3} ，$ $(a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3}) ＝ {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} ，$ 代入即可．
解:令 $x ＝ 1 得 a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} ＝ {(2 + \sqrt{3})}^{3}$ $令 x ＝ 1 得 (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3}) ＝ {(- 2 + \sqrt{3})}^{3}$ $∴ {(a_{0} + a_{1})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2} = (a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3}) (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3})$ $= {(2 + \sqrt{3})}^{3} {(- 2 + \sqrt{3})}^{3} = {(3 - 4)}^{3} = - 1$ 故选B．答案：B 评注:(内容)

3、已知

{({\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 x^{2})}^{n}

展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中系数最大的项．

提示	示范
由系数间的关系可求n，然后求系数最大的项即求系数不小于其前一项和后一项的系数的项，可以列不等式组求解．
解:令x＝1，得各项的系数和为 ${(1 + 3)}^{n} ＝ 4^{n} ，$ 而各项的二项式系数和为 $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} \dots \dots C_{n}^{n} ＝ 2^{n} ，$ $∴ 4^{n} ＝ 2^{n} + 992 ． ∴ 2^{n} ＝ 32 或 2^{n} ＝ - 3 l (舍) ． ∴ n ＝ 5 ．设 r + 1$ 系数最大, $由 C_{5}^{r} \cdot 3^{r} \geq C_{5}^{r - 1} \cdot 3^{r - 1} 和 C_{5}^{r} \cdot 3^{r} \geq C_{5}^{r + 1} \cdot 3^{r + 1}$ $∴ \frac{14}{4} \leq r \leq \frac{18}{4}, ∴ r = 4 . 系数最大的项是第五项，且 T_{5} ＝ C_{5}^{4} \frac{x^{2}}{3} {(3 x^{2})}^{4} ＝ 405 \frac{x^{26}}{3} ．$ 评注:展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念．

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.

    1、在 ${(x^{4} + \frac{1}{x})}^{10}$ 展开式中常数项是____________ .(用数字作答)
　

    提示示范　

    (提示内容)

    解:(内容) $∵ T_{r + 1} = C_{10}^{r} {(x^{4})}^{10 - r} \cdot {(\frac{1}{x})}^{r} = C_{10}^{r} {(x)}^{40 - 4 r} \cdot x^{- r} = C_{10}^{r} x^{40 - 5 r}$
    令40-5r＝0，得r＝8．
    :.展开式中的常数项为 $T_{9} = C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$
评注:(内容)

    2、求证： $3^{2 n + 2} - 8 n - 9 (n \in ℕ) 能被 64 整除$

    提示示范　

    (提示内容)

    证明: $3^{2 n + 2} - 8 n - 9 = {(1 + 8)}^{n + 1} - 8 n - 9$
    $＝ 1 + C_{n + 1}^{1} \cdot 8 + C_{n + 1}^{2} \cdot 8^{2} + \dots + C_{n + 1}^{n + 1} \cdot 8^{n + 1} - 8 n - 9$
    $＝ C_{n + 1}^{2} \cdot 8^{2} + C_{n + 1}^{3} \cdot 8^{3} \dots + C_{n + 1}^{n + 1} \cdot 8^{n + 1}$
    $而 C_{n + 1}^{2}, C_{n + 1}^{3}, \dots + C_{n + 1}^{n + 1} 均为自然数，上式各项均为 64 的$ 整数倍．
    $∴ 3^{2 n + 2} - 8 n - 9 (n \in ℕ) 能被 64 整除．$
   评注:用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．

拓展探究
1、已知

{(1 - 2 x + 3 x^{2})}^{7} ＝ a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{13} x^{13} + a_{14} x^{14}

(1)求

a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{13} + a_{14}

(2)求

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{13}

提示	示范
(提示内容)
解:(1).令x=1,则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{13} + a_{12} = 128 \dots \dots \dots \dots (1)$ (2).令x=-1,则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} \dots - a_{13} + a_{14} = 6^{7} = 128 \dots \dots \dots (2)$ $(1) - (2) ： 2 (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{13}) = 2^{7} - 6^{7} = - 279808 .$ $∴ a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{13}$ =-139904 评注:解决此类问题常用赋值法,x=1或,x=-1

基础训练(1)

1、

若 {(a x - 1)}^{5} 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 80 ， 则 实 数 的 值 是 ()

- 2 B .2 \sqrt{2} C . \sqrt[3]{4} D .2

2、在

{(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}

的展开式中,常数项是(    )
    A．-20       B．-40     C．40       D．20
    3、在

(1 - x^{3}) {(1 + x)}^{10} 的 展 开 式 中 ， x^{5} 的 系 数 是

(     )
    A．-297    B．-252      C．297     D．207
    4、在

{(2 x + y - z)}^{6} 的 展 开 式 中 ， x^{3} y^{2} z

的系数是(      )
    A．480       B．160      C．-480      D．-160
    5、

已 知 {(a x + 1)}^{7} 的 展 开 式 中 ， x^{3} 的 系 数 是 x^{2} 的 系 数 与 x^{4} 的 系 数 的 等 差 中 项 ， 若 a > 1 ，

则实数a＝__________
6、

若 {(x + 1)}^{n} = x^{n} + ... . . + a x^{3} + b x^{2} + ... + 1 (n \in ℕ) ∴ a : b ＝ 3 : 1 ，

则n＝________________
7、

{(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}

的二项展开式中x的系数是________(用数字作答)
8、求

{(3 x^{2} - 2 y)}^{5}

的展开式的第4项,并求这一项的二项式的系数与这一项的系数.

参与答案

1、

若 {(a x - 1)}^{5} 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 为 80 ， 则 实 数 的 值 是 (

D )
A.

- 2 B .2 \sqrt{2} C . \sqrt[3]{4} D .2

2、在

{(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}

的展开式中,常数项是(  A )
    A．-20       B．-40     C．40       D．20
    3、在

(1 - x^{3}) {(1 + x)}^{10} 的 展 开 式 中 ， x^{5} 的 系 数 是

( D )
A．-297 B．-252 C．297 D．207
4、在

{(2 x + y - z)}^{6} 的 展 开 式 中 ， x^{3} y^{2} z

的系数是( C )
A．480 B．160 C．-480 D．-160
5、

已 知 {(a x + 1)}^{7} 的 展 开 式 中 ， x^{3} 的 系 数 是 x^{2} 的 系 数 与 x^{4} 的 系 数 的 等 差 中 项 ， 若 a > 1 ，

则实数a＝__________
答案：

1 + \frac{\sqrt{10}}{5}

6、

若 {(x + 1)}^{n} = x^{n} + ... . . + a x^{3} + b x^{2} + ... + 1 (n \in ℕ) ∴ a : b ＝ 3 : 1 ，

则n＝________________
答案：11
7、

{(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}

的二项展开式中x的系数是________(用数字作答)
答案：35
8、求

{(3 x^{2} - 2 y)}^{5}

的展开式的第4项,并求这一项的二项式的系数与这一项的系数.
答案：10,-720

提高训练(1)

1、设

m ＝ 3^{7} + C_{7}^{2} \cdot 3^{5} + C_{7}^{4} \cdot 3^{3} + C_{7}^{6} \cdot 3 ＝ C_{7}^{1} \cdot 3^{6} + C_{7}^{3} \cdot 3^{4} + C_{7}^{5} \cdot 3^{2} 则 m - n 等 于 () ．

A. 0 B. 127 C.128 D．129
2、在

{(x - \sqrt{2})}^{2006} 的 二 项 展 开 式 中 ， 含 x 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 S ， 当 x ＝ \sqrt{2} 时 ，

S等于( )

A . 2^{3008} B . - 2^{3008} C . 2^{3009} D . - 2^{3009}

3、已知

{(x^{2} - x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots \dots + a_{20} x^{20}, 求 a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots \dots \dots + a_{20} .

4、二项式

(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3 x})

的展开式中系数为有理数的项有多少项?

参考答案

1、设

m ＝ 3^{7} + C_{7}^{2} \cdot 3^{5} + C_{7}^{4} \cdot 3^{3} + C_{7}^{6} \cdot 3 ＝ C_{7}^{1} \cdot 3^{6} + C_{7}^{3} \cdot 3^{4} + C_{7}^{5} \cdot 3^{2} 则 m - n 等 于 (

D )．
A. 0 B. 127 C.128 D．129
2、在

{(x - \sqrt{2})}^{2006} 的 二 项 展 开 式 中 ， 含 x 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 S ， 当 x ＝ \sqrt{2} 时 ，

S等于( B )

A . 2^{3008} B . - 2^{3008} C . 2^{3009} D . - 2^{3009}

3、已知

{(x^{2} - x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots \dots + a_{20} x^{20}, 求 a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots \dots \dots + a_{20} .

答案：

2^{9}

4、二项式

(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3 x})

的展开式中系数为有理数的项有多少项?
答案：9

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