ch10_03

第十章排列、组合和二项式定理
§10.3 组合与组合数公式

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
灵活地运用分类,分步计数原理,排列数和组合数公式解决几何问题,分组问题,不尽相异元素的排列和一些简单的实际问题等.

二、重点难点
(这里输入)

    三、特别提示
    解排列组合的应用题，要注意四点：
    (1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题的性质分类，按事件发生的过程进行分步．
    (2)深入分析，周密思考，注意分清是乘还是加不多，多角度分析，全面考虑，提高逻辑推理能力．
    (3)对有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题，然后再用分类计数原理或分步计数原理求解．
    (4)在解排列组合混合应用题时，应遵循先选后排的原则．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证．因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否合理、完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同方法求解后，看看结果是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．

    应用举例
    一、应用特点
    1、组合数公式及性质的应用
    2、解决有条件限制的组合问题
    3、分组问题的解法

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

l、 $已知 \frac{1}{c_{5}^{m}} - \frac{1}{c_{6}^{m}} = \frac{7}{10} c_{7}^{m}, 求 c_{8}^{m} ?$

提示	示范
运用组合数公式求解．
解:m的取值范围为 ${m 0 \leq m \leq 5 ， min Z) ．由已知， \frac{m! (5 - m)!}{5!} - \frac{m ！ (6 - m)!}{6!}$ $= \frac{7 \times (7 - m)! m!}{10 \times 7!}$ $∴ 60 - 10 (6 - m) = (7 - m) (6 - m) ， m^{2} - 23 m + 42 ＝ 0 ，解得 m ＝ 21 或 m ＝ 2 ．但， n \in [0 ， 5] ， ∴ ． m ＝ 21 舍去．$ $∴ C_{8}^{m} ＝ C_{8}^{2} ＝ 28 ．$ 评注:(内容)

2、某运输公司有7个车队，每个车队的车的型号相同且都多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车组成新的运输队，要求每个车队至少抽1辆，则不同的抽法数有( )
A．301种 B．63种 C．120种 D．84种

提示	示范
本题只关心每个车队抽出几辆车，而不关心抽的是哪一辆车，因此可用插空法．另外，也可分类如下：抽法数可分三类：4，l，l，l，l，l，l；3，2，l，l，l，l，l；2，2，2，l，l，l，l，然后分别写出抽法数再相加．
解:解法一：利用插空法，即将10辆车看成10个相同的元素，然后将10个元素分成7份，每份至少1个，则抽法数为 $C_{9}^{6} ＝ 84 。$ 解法二：当抽法为4，l，l，l，l，l，l时，有C_7^1种方法；当抽法为3，2，l，l，l，l，l时，有 $C_{7}^{1} C_{6}^{1}$ 种抽法；当抽法为2，2，2，l，l，1，l时，有 $C_{7}^{3}$ 种方法，由分类计数原理，共有抽法数为 $C_{7}^{1} + C_{7}^{1} C_{6}^{1} + C_{7}^{3} ＝ 84$ (种)．答案：D 评注:(内容)

3、将5名实习老师分配到高一年段的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )
A.30种菜 B.90种 C.180种 D.270种

提示	示范
明确分组后有无顺序区别,可联想分步计数原理解.
解:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人, 另两组都是2人,有 $\frac{C_{5}^{1} C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}} = 15 种方法, 再将 3 组分到 3 个班, 共有 15 A_{3}^{3} = 90$ 种不同的分配方案．选B．答案：B 评注:(内容)

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.

    1、.二次函数 $y ＝ a x^{2} + b x + c$ 的系数a、b、c在集合{-3，-2，-l，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?
　

    提示示范　

    (提示内容)

    解:由图形特征分析：a>0，开口向上，坐标原点在内部和 $\Leftrightarrow f (0) = c < 0; a < 0,$ 开口向下，原点在内部 $\Leftrightarrow f (0) ＝ c > O ，$ 所以对于抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c$ 来讲，原点在其内部 $\Leftrightarrow a f (0) ＝ a c < O ，$ 则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b．故满足题设的抛物线共有 $C_{3}^{1} \cdot C_{4}^{1} \cdot A_{2}^{2} \cdot A_{6}^{1} ＝ 144 (条) ．$
    评注:这是一道排列、组合与解析几何的综合题，等价地将图形性质转化为数量关系是解决问题的基础和关键．

    2、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参方n数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人?
　

    提示示范　

    (提示内容)

    解:设男生有x人，则女生有(8-x)人，依题意， $C_{x}^{2} \cdot C_{8 - x}^{1} \cdot A_{3}^{3} = 180 ，$
    $∴ \frac{x (x - 1)}{2} (8 - x) \cdot 6 = 180$
    $x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 60 = 0$
    $(x^{3} - 5 x^{2}) - (4 x^{2} - 20 x) - (12 x - 60) = 0$
    $(x - 5) (x^{2} - 4 x - 12) = 0$
    $∴ x_{1} ＝ 5 ， x_{2} ＝ 6 ， x_{3} ＝ - 2 (舍) ．$
   $∴ 男生 5 人，女生 3 人；或男生 6 人，女生 2 人．$
   评注:题目虽然简单，但它体现了解决排列组合混合题的最常用方法．当然要完整解答此题，简单高次方程的求解是不可缺少的条件.

    拓展探究
    1、已知10件不同产品有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
     (1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少?
     (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少?
　

提示	示范
(提示内容)
解:(1)先排前4次测试，只能取正品，有A2种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有 $C_{4}^{2} \cdot A_{2}^{2} ＝ A_{4}^{2}$ (种)测法，再排余下4件的测试位置，有 $A_{4}^{2}$ 种测试．所以共有不同排法 $A_{6}^{4} \cdot C_{4}^{2} A_{2}^{2} \cdot A_{4}^{4} = 103680 (种) ．$ (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法以 $C_{6}^{1} C_{4}^{2} A_{4}^{4} ＝ 576 (种) ．$ 评注:本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列．

基础训练(1)

    1、已知集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，其中含有五个元素且至少有两个偶数的子集有(     )
    A．275个    B．7200个      C．105个     D．12000个
    2、从1,i -i ,1+i ,1-i 五个数中,任取两数相乘,所得积为不同的虚数有(    )
    A．10个     B．8个     C. 7个     D.6个
    3、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同
    的投资方案有(     )
    A．16种      B．6种      C．42种     D．60种
    4、已知异面直线a、b，在a上有四点，在b上有五个点，以上述点为顶点的四面体共有(   )

A ． C_{9}^{4} 个 B ． C_{4}^{2} C_{5}^{2} 个 C ． A_{4}^{2} A_{5}^{2} 个 D ． A_{9}^{4} 个

    5、壹分、贰分、伍分硬币各一枚，共可组成_______种面值．
    6、 8人坐成一排，现要调换3人的位置，其余5人位置不动，共有_________种换法．
    7、红、黄、绿三种卡片各五张，每种卡片上分别写有A、B、C、D、正五个字母，若每次取四张，要求文字不同而颜色齐全，共有__________种取法．
    8、马路上有编号为l，2，3，.......10的十只路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中三只路灯熄掉，
    但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯,问满足条件的熄灯方法有多少种?
　

参考答案

    1、已知集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，其中含有五个元素且至少有两个偶数的子集有(  C )
    A．275个    B．7200个      C．105个     D．12000个
    2、从1,i -i ,1+i ,1-i 五个数中,任取两数相乘,所得积为不同的虚数有( D )
    A．10个     B．8个     C. 7个     D.6个
    3、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同
    的投资方案有(   D )
    A．16种      B．6种      C．42种     D．60种
    4、已知异面直线a、b，在a上有四点，在b上有五个点，以上述点为顶点的四面体共有( B )

A ． C_{9}^{4} 个 B ． C_{4}^{2} C_{5}^{2} 个 C ． A_{4}^{2} A_{5}^{2} 个 D ． A_{9}^{4} 个

    5、壹分、贰分、伍分硬币各一枚，共可组成_______种面值．
    答案：7
    6、 8人坐成一排，现要调换3人的位置，其余5人位置不动，共有_________种换法．
    答案：112
    7、红、黄、绿三种卡片各五张，每种卡片上分别写有A、B、C、D、正五个字母，若每次取四张，

要求文字不同而颜色齐全，共有__________种取法．
    答案：180
    8、马路上有编号为l，2，3，.......10的十只路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中三只路灯熄掉，
    但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯,问满足条件的熄灯方法有多少种?
    答案：56

提高训练(1)

参考答案

     1、已知集合A＝{5}，B＝{l，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(  A )
    A．33    B．34    C．35     D．36
    2、5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成l、2、3号参加团体比赛，则人选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数作答)
    答案：48
    3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法?
    答案：

A_{7}^{4} \cdot A_{6}^{6}

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