§8.5 轨迹与方程

第八章圆锥曲线方程
§8.5 轨迹与方程

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
理解轨迹的概念,能够根据所给条件选择恰当的直角坐标系,运用常用的求轨迹方程的办法求曲线方程.

二、重点难点

三、特别提示
1、求曲线方程之前，必须确定问题中的坐标系是否建立，对于坐标系未建立的问题，应先建立坐标系。
　　2、求曲线方程时，应注意其纯粹性与完备性，也就是把需要剔除点剔除；对于遗漏的曲线要补上来，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明 $x ， y$ 的取值范围。
　　3、“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”是首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。
　　4、轨迹方程(曲线方程)的考查以解答题形式出现，在求解过程时，要经历审题，寻找和确定求解途径，分析解题步骤，逐步推演，综合陈述，完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节。因此正确探明题目所蕴含的数学信息，广泛联想题目所涉及到的概念，公式，定理，创造性地组合各种信息来求得题目的解决。

    知识梳理
     1、曲线与方程
    一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线

C

上的点与一个二元方程

f (x, y) ＝ 0

的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
　　那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。
　　曲线既可以看作是符合某种条件的点的集合，又可以看作满足某种条件的动点运动的轨迹，因此，此类问题有时也叫做轨迹问题。
　　2、求曲线轨迹方程的基本步骤
　　(1)建立恰当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)
　　(2)寻求动点与已知点满足的关系式——几何关系
　　(3)将动点与已知点坐标代入——几何关系代数化
　　(4)化简整理方程——简化
　　(5)证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性
　　3、求曲线轨迹方程的常用方法.
　　(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(如两点间距离公式，点到直线距离公式，夹角公式等)进行整理，化简，如前面所学的圆锥曲线方程等.
　　(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设方程，再确定其中的基本量.
　　(3)代入法：也叫相关点法，其特点是：动点

M (x, y)

的坐标取决于已知曲线

C

上的动点

(x', y')

的坐标，可先用

x, y

表示

x', y'

，再代入曲线

C

的方程，即得点

M

的轨迹方程.
　　(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标

x ， y

，得出轨迹的参数方程，削去参数，即得普通方程。选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度，直线的斜率，点的横纵坐标，线段长度等。

    应用举例
    一、应用特点
    1、用五步求曲线的轨迹；
    2、用定义法求曲线轨迹方程；
    3、用代入法求曲线轨迹方程.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、一圆被两直线 $x + 2 y = 0, x - 2 y = 0$ 截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。

提示

示范

解:如图，设动圆圆心为

M (x, y)

，动圆的半径为

r

M

到直线

l_{1} : x + 2 y = 0

的距离为

d_{1}

，

M

到直线

l_{2} : x - 2 y = 0

的距离为

d_{2}

则 $d_{1} = \frac{| x + 2 y |}{\sqrt[]{5}}$ ， $d_{2} = \frac{| x - 2 y |}{\sqrt[]{5}}$ 且 $r^{2} - d_{1}^{2} = 16, r^{2} - d_{2}^{2} = 4 ∵ . d_{2}^{2} - d_{1}^{2} = 12$ ，

即 ${(\frac{| x - 2 y |}{\sqrt[]{5}})}^{2} - {(\frac{| x + 2 y |}{\sqrt[]{5}})}^{2} = 12$ .化简得 $x y = - \frac{15}{2}$ 。故动圆圆心的轨迹方程为 $x y = - \frac{15}{2}$ 。

评注:本题中 $M$ 满足的条件并不是直接给出的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中挖掘出来的。

2、如图，已知线段

| A B | = 4

，动圆

O'

与线段

A B

切于点C且满足|AC|-|BC|=

2 \sqrt[]{2}

，过点

A 、 B

分别作圆

O'

的切线，两切线相交与

P

，且

P 、 O'

均在

A B

同侧，建立适当坐标系，当

O'

位置变化时，求动点

P

的轨迹方程。

提示	示范
欲切线长定理将\|AC\|-\|BC\|转化为\|PA\|-\|PB\|，从而由定义求得轨迹方程。
解:以 $A B$ 的中点O为坐标原点，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，则A(-2,0)、B(2,0) 由切线长定理得\|AC\|-\|BC\|=\|PA\|-\|PB\|=2 $\sqrt[]{2}$ <4。 $∴ P$ 点的轨迹是以 $A, B$ 为焦点的双曲线的右支(不包括顶点)。 $∵ a = \sqrt[]{2}, c = 2, ∴ b = \sqrt[]{2}$ 。 $∴$ 动点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2} - y^{2} = 2 (x > \sqrt[]{2})$ 评注: 求点的轨迹方程一定要注意变量的取值范围，并且常常会挖去一些特殊点。

3、试确定

m

的取值范围，使得椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1

上有不同两点关于直线

y = 4 x + m

对称。

提示	示范
将直线方程代入椭圆的方程．
解:设椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上以 $A (x_{1}, x_{1}), A' (x_{2}, y_{2})$ 为端点的弦关于直线 $y = 4 x + m$ 对称，且以 $M (x_{0}, y_{0})$ 为中点的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 内的点，从而有 $x_{1} x_{2} = 2 x_{0}, y_{1} + y_{2} = 2 y_{0}$ 。由 ${\begin{cases} 3 x_{1}^{2} + 4 y_{1}^{2} = 12 \\ 3 x_{2}^{2} + 4 y_{2}^{2} = 12 \end{cases}$ ①-②得 $4 (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) = - 3 (x_{1}^{2} - x_{2}^{2})$ $∴ k_{\forall'} = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = - \frac{3 (x_{1} + x_{2})}{4 (y_{1} + y_{2})} = - \frac{3 x_{0}}{4 y_{0}}$ 由 $k_{\forall'} = - \frac{1}{4} \Rightarrow - \frac{3 x_{0}}{4 y_{0}} = - \frac{1}{4}$ $∴ y_{0} = 3 x_{0}$ 由 $M (x_{0}, y_{0})$ 在直线 $y = 4 x + m$ 上 $∴ x_{0} = m$ , $y_{0} = - 3 m ∴ M (- m, - 3 m)$ ,从而有 $\frac{{(- m)}^{2}}{4} + \frac{- 3 m}{3} < 1 ∴ m^{2} < \frac{4}{13}$ $∴ m \in (- \frac{2 \sqrt[]{13}}{13}, \frac{2 \sqrt[]{13}}{13})$ 评注:设而不求的应用．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、设

A

为直线

l

外一定点,点

A

到直线

l

的距离为

p, B C

为直线

l

上定长线段,且

B C = 2 p

,当

B C

在直线

l

上滑动时,建立适当的坐标系,求

Δ A B C

的外心

M

的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

提示	示范
坐标系的建立至关重要．
解:如图,以直线 $l$ 为 $x$ 轴,过点 $A$ 垂直于 $l$ 的直线为 $y$ 轴,建立直角坐标系. 设外心 $M (x, y)$ ,作 $M N ⊥ B C$ ,垂足为 $N$ , 则 $N$ 为 $B C$ 的中点,且点 $N (x, 0)$ . $∵ \| B C \| = 2 p, ∴ \| B N \| = p$ ,从而点 $B (x - p, 0)$ , 又由题设, $A (0, p)$ . $∵$ 点 $M$ 为 $Δ A B C$ 的外心, $∴ \| M A \| = \| M B \|$ , 从而 $\sqrt[]{x^{2} + {(y - p)}^{2}} = \sqrt[]{p^{2} + y^{2}}$ 化简整理,得 $x^{2} = 2 p y$ . 故外心 $M$ 的轨迹方程是 $x^{2} = 2 p y$ ,它表示以原点为顶点,开口向上的一条抛物线. 评注:依题意得到关系式是解轨迹题目的关键所在．

2、如图,已知圆

A : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1

与点

A (- 2, 0), B (2, 0)

,分别求出满足下列条件的动点

P

的轨迹方程.
(1)

Δ P A B

的周长为10;
(2)圆

P

过点

B

且与圆

A

外切(

P

为动圆圆心);
(3)圆

P

与圆

A

外切且与直线

x = 1

相切(

P

为动圆圆心).

提示	示范
求轨迹方程的步骤
解:(1)根据题意,知 $\| P A \| + \| P B \| + \| A B \| = 10$ ,即 $\| P A \| + \| P B \| = 6 > 4 = \| A B \|$ . 故P点的轨迹是椭圆,且 $2 a = 6, 2 c = 4$ , 故 $a = 3, c = 2, b = \sqrt[]{5}$ 因此其方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (y \neq 0)$ (2)设圆 $P$ 的半径为 $r$ ,则 $\| P A \| = r + 1, \| P B \| = r$ . 因此 $\| P A \| - \| P B \| = 1$ . 由双曲线的定义知, $P$ 点的轨迹为双曲线的右支,且 $2 a =, 2 c = 4$ , 即 $a = \frac{1}{2}, c = 2, b = \frac{\sqrt[]{15}}{2}$ 因此其方程为 $4 x^{2} - \frac{4}{15} y^{2} = 1 (x \geq \frac{1}{2})$ (3)依题意,知动点 $P$ 到定点 $A$ 的距离等于到定直线 $x = 2$ 的距离, 故其轨迹为抛物线,且开口向左, $p = 4$ . 因此其方程为 $y^{2} = - 8 x$ 评注:求轨迹方程的步骤要牢记

拓展探究
1、在平面直角坐标系xOy中,抛物线

y = x^{2}

上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足

O A ⊥ O B

.
(1)求

Δ A O B

的重心

G

的轨迹方程.
(2)

Δ A O B

的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.

提示	示范
求轨迹方程的步骤．
解:(1)设 $Δ A O B$ 的重心 $G (x, y)$ , $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ , 则 ${\begin{cases} x = \frac{x_{1} + x_{2}}{3} \\ y = \frac{y_{1} + y_{2}}{3} \end{cases}$ $∵ O A ⊥ O B, ∴ k_{O A} k_{O B} = - 1$ ,即 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ , 又点A,B在抛物线上,有 $y_{1} = x_{1}^{2}, y_{2} = x_{2}^{2}$ ,得 $x_{1} x_{2} = - 1$ . $∴ y = \frac{y_{1} + y_{2}}{3} = \frac{1}{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = \frac{1}{3} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}] = 3 x^{2} + \frac{2}{3}$ .故重心 $G$ 的轨迹方程为 $y = 3 x^{2} + \frac{2}{3}$ . (2) $S_{Δ A O B} = \frac{1}{2} \| O A \| \| O B \| = \frac{1}{2} \sqrt[]{x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} y_{2}^{2} + x_{2}^{2} y_{1}^{2} + y_{1}^{2} y_{2}^{2}}$ 由(1)得 $S_{Δ A O B} = \frac{1}{2} \sqrt[]{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2} \geq \frac{1}{2} \sqrt[]{2 \sqrt[]{x_{1}^{2} x_{1}^{2}} + 2} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ . 当且仅当 $x_{1}^{2} = x_{2}^{2}$ ,即 $x_{1} = - x_{2} = - 1$ 时,等好成立, $∴ Δ A O B$ 的面积存在最小值,且最小值为1. 评注:求轨迹方程的步骤要牢记．同时注意存在性问题的求法．

基础训练

1、设

A_{1} 、 A_{2}

是椭圆

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

的长轴两个端点,

P_{1} 、 P_{2}

是垂直于

A_{1} 、 A_{2}

的弦的端点，则直线

A_{1} 、 P_{1}

与

A_{2} P_{2}

交点P的轨迹方程为( )
A.

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1

2、已知点

M (- 3, 0) 、 N (3, 0) 、 B (1, 0)

C

与直线

M N

切于

B

点，过

M 、 N

与

C

相切的两直线相交于点

P

，则

P

点的轨迹方程为( )
A.

x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1

x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 0 (x > 1)

x^{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1

x^{2} + \frac{y^{2}}{10} = 1

3、已知点顶点

A (- 2, 0) 、 B (1, 0)

如果动点

P

满足

| P A | = 2 | P B |

，则点

P

的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.

π

4 π

8 π

9 π

4、若点

P (x, y)

到点

F (3, 0)

的距离与它到直线

x + 6 = 0

的距离之差等于3，则点P的轨迹方程是( )
A.

y^{2} = - 12 x

y^{2} = 6 x

y^{2} = 12 x

y^{2} = - 6 x

5、在抛物线

y^{2} = 16 x

内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线方程______
6、在椭圆

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

的第一象限上求一点，使四边行

O A P B

的面积最大，则

P

点的坐标为__。
7、已知线段

P Q

的一端

P

在椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

上，另一端

Q

在

x

轴上，且

| P Q | = b

，求

P Q

中点

M

的轨迹方程。
8、给定抛物线

y^{2} = 8 (x + 2)

，其焦点为准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴的端点的轨迹方程。
　

参考答案

1、设

A_{1} 、 A_{2}

是椭圆

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

的长轴两个端点,

P_{1} 、 P_{2}

是垂直于

A_{1} 、 A_{2}

的弦的端点，则直线

A_{1} 、 P_{1}

与

A_{2} P_{2}

交点P的轨迹方程为( )
A.

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1

    答案：C
    2、已知点 $M (- 3, 0) 、 N (3, 0) 、 B (1, 0)$ , $C$ 与直线 $M N$ 切于 $B$ 点，过 $M 、 N$ 与 $C$ 相切的两直线相交于点 $P$ ，则 $P$ 点的轨迹方程为(   )
    A. $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$      B. $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 0 (x > 1)$      C. $x^{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1$      D. $x^{2} + \frac{y^{2}}{10} = 1$

    答案：B
    3、已知点顶点 $A (- 2, 0) 、 B (1, 0)$ 如果动点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则点 $P$ 的轨迹所包围的图形的面积等于(   )
    A. $π$        B. $4 π$        C. $8 π$        D. $9 π$

    答案：B
    4、若点 $P (x, y)$ 到点 $F (3, 0)$ 的距离与它到直线 $x + 6 = 0$ 的距离之差等于3，则点P的轨迹方程是(   )
    A. $y^{2} = - 12 x$        B. $y^{2} = 6 x$        C. $y^{2} = 12 x$        D. $y^{2} = - 6 x$

答案：C
5、在抛物线 $y^{2} = 16 x$ 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线方程______

答案： $8 x - y - 15 = 0$
6、在椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的第一象限上求一点，使四边行 $O A P B$ 的面积最大，则 $P$ 点的坐标为__。

答案： $(3 \frac{\sqrt[]{2}}{2}, \sqrt[]{2})$
7、已知线段 $P Q$ 的一端 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，另一端 $Q$ 在 $x$ 轴上，且 $| P Q | = b$ ，求 $P Q$ 中点 $M$ 的轨迹方程。

答案： $\frac{x^{2}}{{(a \pm \frac{1}{2} b)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\frac{1}{2} b)}^{2}} = 1$
8、给定抛物线 $y^{2} = 8 (x + 2)$ ，其焦点为准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴的端点的轨迹方程。

答案： ${(x + 1)}^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (y \neq 0)$

提高训练

1、直线

y = x + m

与椭圆

{(x = 3 cos θ,), (y = 2 sin θ)

相交，则

m

的取值范围是( )
A.(-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

) B.(-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

] C.[-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

) D.[-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

]
2、给出问题:

F_{1} 、 F_{2}

是双曲线

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1

的焦点，点

P

在双曲线上，若点

P

到焦点

F_{1}

的距离等于9，求点

P

到焦点

F_{2}

的距离，某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由

| | P F_{1} | - | P F_{2} | = 8

,即

| 9 - | P F_{2} | | = 8

，得

| P F_{2} | = 1

或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上。_______________________________
3、已知

P

点在圆

A : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{4}

上运动,

Q

点在椭圆

x^{2} + 4 y^{2} = 4

上运动，求

| P Q |

的最大值及

| P Q |

取最大值时

P 、 Q

点的坐标。
4、如下图，三定点

A (2, 1), B (0, - 1), C (- 2, 1)

；三动点

D, E, M

满足

\vec{A B} = t \vec{A B}, \vec{B E} = t \vec{B E}, \vec{D M} = t \vec{D E}, t \in [0, 1]

。
(1)求动直线

D E

斜率的变化范围；
(2)求动点

M

的轨迹方程。

参考答案

1、直线

y = x + m

与椭圆

{(x = 3 cos θ,), (y = 2 sin θ)

相交，则

m

的取值范围是( )
A.(-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

) B.(-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

] C.[-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

) D.[-

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{13}

]

    答案：A
    2、给出问题: $F_{1} 、 F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上，若点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离等于9，求点 $P$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离，某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | = 8$ ,即 $| 9 - | P F_{2} | | = 8$ ，得 $| P F_{2} | = 1$ 或17。
    该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上。_______________________________

答案： $| P F_{2} | = 17$
3、已知 $P$ 点在圆 $A : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{4}$ 上运动, $Q$ 点在椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ 上运动，求 $| P Q |$ 的最大值及 $| P Q |$ 取最大值时 $P 、 Q$ 点的坐标。

    答案： $\frac{4 \sqrt[]{21} + 3}{6}$ $Q (\pm \frac{2}{3} \sqrt[]{5}, - \frac{2}{3})$ $P (\pm \frac{\sqrt[]{105}}{42}, 2 + \frac{2 \sqrt[]{21}}{21})$
    4、如下图，三定点 $A (2, 1), B (0, - 1), C (- 2, 1)$ ；三动点 $D, E, M$ 满足 $\vec{A B} = t \vec{A B}, \vec{B E} = t \vec{B E}, \vec{D M} = t \vec{D E}, t \in [0, 1]$ 。
    (1)求动直线 $D E$ 斜率的变化范围；
    (2)求动点 $M$ 的轨迹方程。

答案：(1) $k_{D} E \in [- 1, 1]$ (2) $x^{2} = 4 y, x \in [- 2, 2]$

学习感悟
1、求轨迹方程的基本步骤是：
　　(1)建立适当的直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标是 $(x, y)$ ；
　　(2)寻找动点与已知点满足的关系；
　　(3)将动点与已知点坐标代入；
　　(4)化简整理方程；
　　(5)证明所得方程为所求曲线的方程。通常求轨迹方程时，可将步骤(2)和步骤(5)省略，但应注明轨迹方程中变量的限制条件
　　2、求曲线轨迹方程的常用方法
　　(1)直接法：建系、设点、列式、代换、化简、证明(可省略)，使用于动点满足的条件易于列出，是求曲线轨迹方程是基本的方法。
　　(2)定义法：若动点P的轨迹符合某已知曲线的定义，可直接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数，从而求出方程。
　　(3)代入法：若动点 $P (x, y)$ 的变动依赖于另一动点 $Q (x_{0}, y_{0})$ ，而 $Q (x_{0}, y_{0})$ 在某已知曲线 $f (x, y) = 0$ 上，则可先写出方程 $f (x_{0}, y_{0})$ ，再找出 $(x_{0}, y_{0})$ 与 $(x, y)$ 之间的关系，代入已知方程便可得到动点适合的曲线方程。
　　(4)参数法：动点 $P (x, y)$ 坐标之间的关系不易直接找到，但其用第三变量t可表示为 ${(x = f (t)), (y = g (t))}$ ，消去参数 $t$ ，即可得出 $P (x, y)$ 的轨迹方程 $F (x, y) = 0$ 。
　　(5)待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立有关系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方程。
　　3、求诡计方程应注意的地方
　　(1)注意题目中的隐含条件，也就是曲线上点的坐标和取值范围。曲线的方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的完备性和纯粹性；轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围。
　　(２)若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

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