评注:讨论字母的取值范围的分类要体会.

   评注: 对于开放的曲线,${\displaystyle \Delta =0}$仅是有一个公共点的充分但是不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下；当${\displaystyle a=0}$时，曲线${\displaystyle y^2=ax}$蜕化为直线${\displaystyle y=0}$，此时 与已知直${\displaystyle y=x-1}$，它们恰有一个交点(1,0)；当${\displaystyle a=-1}$时，直线${\displaystyle y=-1}$与抛物线${\displaystyle y^2=-x}$的对称轴平行，恰有一个交点(代数 特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；当${\displaystyle a=-\frac{4}{5}}$时，直线${\displaystyle y=\frac{1}{5}x-1}$与抛物线${\displaystyle y^2=-\frac{4}{5}x}$相切。

   评注:一元二次方程的根的判别式${\displaystyle \Delta }$和根与系数的关系，即韦达定理，在解析几何中解与交点及弦长有关问题时有重要的作用，要注意加以应用。

   评注:注意分类讨论思想的应用。

   评注:设而求与设而不求的关系注意把握.

    (2)由${\displaystyle \{\begin{array}{l}{b}^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ x+y-1=0\end{array}}$,消去${\displaystyle y}$得${\displaystyle (a^2+b^2)x^2-2a^{2}x+a^2(1-b^2)=0}$

    由题意得${\displaystyle \Delta =4a^2{b}^2(a^2+b^2-1)>0}$,即${\displaystyle a^2+b^2>1}$,(*)

    此时,${\displaystyle x_1+x_2=\frac{2a^2}{a^2+b^2}}$,${\displaystyle x_1{x}_2=\frac{a^2(1-b^2)}{a^2+b^2}}$①

    由${\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0}$,得${\displaystyle x_1{x}_2+y_2{y}_1=0}$

    又${\displaystyle y_1=1-x_1}$,${\displaystyle y_2=1-x_2}$

    所以${\displaystyle 2x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1=0}$②

    将①代入②,得${\displaystyle a^2+b^2-2a^2{b}^2=0}$

    由${\displaystyle e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}}$,得${\displaystyle b^2=a^2-a^2{e}^2}$,

    代入上式,整理得:${\displaystyle 2a^2=\frac{2-e^2}{1-e^2}=1+\frac{1}{1-e^2}}$

    由已知得,所以,满足(*)式的条件.

    所以

    即椭圆长轴长的取值范围是${\displaystyle [\sqrt[]{5},\sqrt[]{6}]}$   

   评注:(1)使用弦长公式时应注意:若直线与圆锥曲线联立后转化的是关于x的一元二次方程,则用公式${\displaystyle \sqrt[]{1+k^2}|x_1-x_2|}$;若转化的是关于y的一元二次方程,则用公式${\displaystyle \sqrt[]{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|}$ .

    (2)向量与解析几何综合时,应注意将向量描述的内容转化为代数形式.

    答案：A
    2、过抛物线${\displaystyle y^2=-x}$的焦点${\displaystyle F}$的直线交抛物线于${\displaystyle A、B}$两点，且${\displaystyle A、B}$在直线${\displaystyle x=\frac{1}{4}}$上的射影分别是${\displaystyle M、N}$，则${\displaystyle \angle MFN}$等于(   )
    A.${\displaystyle {30}^{。}}$       B.${\displaystyle {45}^{。}}$        C.${\displaystyle {60}^{。}}$       D.${\displaystyle {90}^{。}}$

    答案：D
    3、过点(0,1)作直线，使它与抛物线${\displaystyle y^2=4x}$仅有一个公共点，这样的直线有(   )
    A.1条           B.2条            C.3条          D.4条

    答案：C
    4、过双曲线${\displaystyle M:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1}$的左顶点${\displaystyle A}$作倾斜率为1的直线${\displaystyle l}$，若${\displaystyle l}$与双曲线${\displaystyle M}$的两条渐进线分别相交于点${\displaystyle B、C}$，且${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BC\right|}$，则双曲线${\displaystyle M}$的离心率是(　)
    Ａ.${\displaystyle \sqrt[]{10}}$     Ｂ.${\displaystyle \sqrt[]{5}}$     Ｃ.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{10}}{3}}$     Ｄ.${\displaystyle \frac{\sqrt[]{5}}{2}}$

    答案：A
    5、抛物线${\displaystyle y^2=2px(p>0)}$上有三点${\displaystyle A(2,y_1)、B(x_2,-4)、C(6,y_3)}$且，若${\displaystyle A、B、C}$到焦点的距离依次等差数列，那么${\displaystyle x_2}$＝________,${\displaystyle y_1}$ =________,${\displaystyle y_3}$ =_________.

    答案：4，${\displaystyle \pm 2\sqrt[]{2}}$，${\displaystyle \pm 2\sqrt[]{6}}$
    6、过抛物线${\displaystyle y^2=4x}$的焦点${\displaystyle F}$作垂直于${\displaystyle x}$轴的直线，交抛物线与${\displaystyle A、B}$两点，则以${\displaystyle F}$为圆心、${\displaystyle AB}$为直径的圆的方程是____________

    答案：${\displaystyle {(x-1)}^2+y^2=4}$
    7、若直线${\displaystyle mx+ny-3=0}$与圆${\displaystyle x^2+y^2=3}$没有公共点，则${\displaystyle m、n}$满足的关系为_____；以${\displaystyle (m,n)}$为点${\displaystyle P}$的坐标，过点${\displaystyle P}$的一条直线与椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{3}=1}$的公共点有______个。

    答案：，2
    8、过点${\displaystyle P(-1,1)}$，作直线与椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}$交于${\displaystyle A、B}$两点，若线段${\displaystyle AB}$的中点恰为${\displaystyle P}$点，求${\displaystyle AB}$所在直线的方程。

    答案：${\displaystyle x-2y+3=0}$

    答案：C
    2、正方形${\displaystyle ABCD}$的边${\displaystyle AB}$在直线${\displaystyle y=x+4}$上，${\displaystyle C、D}$两点在抛物线${\displaystyle y^2=x}$上，则正方形${\displaystyle ABCD}$的面积为________。

    答案：${\displaystyle 18或50}$
    3、如下图，直线${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$与抛物线${\displaystyle y=\frac{1}{8}{x}^2-4}$交于${\displaystyle A、B}$两点，线段${\displaystyle AB}$的垂直平分线与直线${\displaystyle y=-5}$交于点${\displaystyle Q}$。
    (1)求点${\displaystyle Ｑ}$的坐标；
    (2)当${\displaystyle P}$为抛物线上位于直线${\displaystyle AB}$下方(含点${\displaystyle A、B}$)的动点时，求${\displaystyle \Delta OPQ}$面积的最大值。

    答案：(1)${\displaystyle Q(5,-5)}$ (2)30
    4、如下图，椭圆${\displaystyle Q:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}(a>b>0)}$的右焦点为${\displaystyle F(c,0)}$，过点${\displaystyle F}$的一动直线${\displaystyle m}$绕点${\displaystyle F}$转动，并且交椭圆于${\displaystyle A,B}$两点，${\displaystyle P}$为线段${\displaystyle AB}$的中点。
    (1)求点${\displaystyle P}$的轨迹${\displaystyle H}$的方程；
    (2)若在${\displaystyle Q}$的方程中，令。设轨迹${\displaystyle H}$的最高点和最低点分别为${\displaystyle M}$和${\displaystyle N}$。当${\displaystyle \theta }$为何值时,${\displaystyle \Delta MNF}$为一个正三角形？

    答案：(1)${\displaystyle b^2{x}^2+a^2{y}^2-b^{2}cx=0}$ (2)