§6.2 不等式的证明

第六章不等式
§6.2 不等式的证明

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式；掌握不等式证明的几种常见的方法：反证法、放缩法、换元法、判别式法．

二、重点难点
重点:理解并掌握不等式证明的几种常见方法

难点:不等式证明常见方法的综合与灵活应用

三、特别提示
(1)用作商比较法时，要注意除式的符号，否则易出错，因为 $\frac{A}{B} > 1$ ，若 $B > 0$ ，有 $A > B$ ，但若 $B < 0$ ，则有 $A < B$ ．
　　(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此，在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．
　　(3)综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写．
　　(4)在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性．如 $a + b = 1 ， a 、 b \in ℝ$ ，就不能换为 $a = {cos}^{2} θ$ ， $b = {sin}^{2} θ$ ，必须在 $a \geq 0 ， b \geq 0$ 的条件下才可这样换元．而均值代换就没有这样的限制，若 $a + b = 1$ ， $a 、 b \in ℝ$ ，则可设 $a = \frac{1}{2} + t$ ， $b = \frac{1}{2} - t (t \in ℝ)$ ．
　　(5)在应用放缩法时，放缩一定要有目标，要恰到好处，过大或过小都不能达到目的．而目标常常要从证明的结论去考查和转化．

    知识梳理
    1、比较法
    比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为作差法、作商法．
    (1)作差法
    ①理论依据：

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

a < b \Leftrightarrow a - b < 0

a = b \Leftrightarrow a - b = 0

②证明步骤：作差

\to

变形

\to

判断符号

(2)作商法

①要证

A > B (B > 0)

，只要证

\frac{A}{B} > 1

要证

A < B (B > 0)

，只要证

\frac{A}{B} < 1

②证明步骤：作商

\to

变形

\to

判断符号

常用变形方法：一是配方法，二是分解因式．

2、分析法

    从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是_________，即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式．
    采用分析法证明不等式时，常用______的符号，有时，若为充要条件时，有常用_____的符号．证明过程常表示为“要证……只要证……”
    3、综合法
    所谓综合法，就是从______和已经证明过的基本不等式和不等式的______推导出所要证明的不等式成立，可简称为_________在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用．
    常用的基本不等式有：
    (1)

| a | \geq 0 ， a^{2} \geq 0 ， {(a \pm b)}^{2} \geq 0 (a 、 b \in ℝ)

；

(2)

a^{2} + b^{2} \geq 2 a b (a 、 b \in ℝ

，当且仅当

a = b

时取等号)；

(3)

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0

，当且仅当

a = b

时取等号)；

(4)

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 (a b > 0)

；

(5)

| | a | - | b | | \leq | a + b | \leq | a | + | b | (a 、 b \in ℝ)

左边等号成立的条件是当且仅当

a b \leq 0

且

| a | \geq | b |

，右边等号成立的条件是当且仅当

a b \geq 0

．

    4、其他证明方法
    (1)判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的，根据其有解或无解建立不等关系
    (2)放缩法：将不等式一侧适当地放大或缩小，以达到证明的目的．
    (3)换元法：通过换元以达到减元的目的，从而促使问题转化．常见的换元法有三角换元、均值换元和设差换元
    (4)反证法：要证不等式

A > B

，先假设

A \leq B

，根据题设及其他性质推出矛盾，从而肯定

A > B

成立．反证法常用于否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等)或“唯一性”问题或结论中出现“至多”等限制条件的问题
(5)构造法：将要证不等式与构造的图形、函数、数列或复数等对应起来，借助于图象性质、函数单调性、数列知识或复数知识来证明不等式．

    应用举例
    一、应用特点
    1、用比较法证明不等式
    2、用分析法证明不等式
    3、用放缩法证不等式

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、(1)已知 $a < b < c$ ，求证： $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a < a^{2} c + b^{2} a + c^{2} b$
(2)求证： $a^{2 a} b^{2 b} c^{2 c} > a^{b + c} b^{c + a} c^{a + b} (a > b > c > 0)$

提示	示范
都可以用比较法证明．对(1)可以用作差法；对于(2)，由于两边是积式，更适合用作商法．
解:(1)左-右 $= (a^{2} b - b^{2} a) + (b^{2} c - a^{2} c) + (c^{2} a - c^{2} b) = a b (a - b) + c (b + a) (b - a) + c^{2} (a - b)$ $= (a - b) [c^{2} - (b + a) c + a b]$ $= (a - b) (c - a) (c - b) < 0$ $∴ a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a < a^{2} c + b^{2} a + c^{2} b$ (2) $\frac{左式}{右式} = \frac{a^{2 a}}{a^{b + c}} • \frac{b^{2 b}}{b^{c + a}} • \frac{c^{2 c}}{c^{a + b}}$ $= a^{(a - b) + (a - c)} b^{(b - c) + (b - a)} c^{(c - a) + (c - b)}$ $= {(\frac{a}{b})}^{a - b} {(\frac{a}{c})}^{a - c} {(\frac{b}{c})}^{b - c}$ 又 $∵ a > b > c > 0$ $∴ \frac{a}{b} > 1 ， a - b > 0$ $∴ {(\frac{a}{b})}^{a - b} > 1$ 同理， ${(\frac{a}{c})}^{a - c} > 1 ， {(\frac{b}{c})}^{b - c} > 1$ $∴ \frac{左式}{右式} > 1$ ，即 $a^{2 a} b^{2 b} c^{2 c} > a^{b + c} b^{c + a} c^{a + b}$ 评注:(内容)

2、证明：水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

提示	示范
当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小．设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为 $\frac{L}{2 π}$ ，截面积为 $π {(\frac{L}{2 π})}^{2}$ ，周长为L的正方形边长为 $\frac{L}{4}$ ，截面积为 ${(\frac{L}{4})}^{2}$ ．所以本题只需证明 $π {(\frac{L}{2 π})}^{2} > {(\frac{L}{4})}^{2}$ ．
证明:设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为 $π {(\frac{L}{2 π})}^{2}$ ，截面是正方形的水管的截面面积为 ${(\frac{L}{4})}^{2}$ ，所以本题只需证明 $π {(\frac{L}{2 π})}^{2} > {(\frac{L}{4})}^{2}$ 为了证明上式成立，只需证明 $\frac{π L^{2}}{4 π^{2}} > \frac{L^{2}}{16}$ 两边同乘以正数 $\frac{4}{L^{2}}$ ，得 $\frac{1}{π} > \frac{1}{4}$ 因此，只需证明 $4 > π$ 上式是成立的，所以 $π {(\frac{L}{2 π})}^{2} > {(\frac{L}{4})}^{2}$ 这就证明了通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管截面是正方形的水管流量大．评注:(内容)

3、证明不等式

1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} (n \in ℕ^{\cdot})

提示	示范
本题按照不等式的证明要由繁到简的原则，从左边的某一项或整体入手，充分考虑不等式本身的特点，采用放缩法证明．
解:证明： $∵ \sqrt{k} - \sqrt{k - 1} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}} > \frac{1}{2 \sqrt{k}}$ $∴ \frac{1}{\sqrt{k}} < 2 (\sqrt{k} - \sqrt{k - 1})$ 令 $k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n$ ，则有 $\frac{1}{\sqrt{1}} < 2 (\sqrt{1} - 0) ， \frac{1}{\sqrt{2}} < 2 (\sqrt{2} - 1) ， \dots ， \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})$ 将以上各式相加得 $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} (n \in ℕ^{\cdot})$ 评注:放缩法就是欲证明 $A \geq B$ ，则可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 $B \leq B_{1}$ ， $B_{1} \leq B_{2} \leq \dots \leq B_{i} \leq A$ (或反之)，再利用传递性，达到证明的目的，这种方法叫放缩法，运用放缩法的关键是放缩要适度，放得过大或过小，都不能达到目的．

实践体验
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

    1、设 $a > b > 0$ ，求证： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} > \frac{a - b}{a + b}$

    提示示范　

   根据本题的条件和要证明的结论，既可用作差法又可用作商法．

    解:方法一： $∵ a > b > 0$ ，
    $∴ 左边 - 右边 = \frac{(a - b) [{(a + b)}^{2} - (a^{2} + b^{2})]}{(a^{2} + b^{2}) (a + b)} = \frac{2 a b (a - b)}{(a^{2} + b^{2}) (a + b)} > 0$
    故原不等式成立．
    方法二： $\frac{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}}}{a - b} / (a + b) = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \times \frac{a + b}{a - b} = \frac{{(a + b)}^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 1 + 2 a \frac{b}{a^{2} + b^{2}} > 1$ ，
    且由 $a > b > 0$ ，知 $\frac{a - b}{a + b} > 0$
    $∴ \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} > \frac{a - b}{a + b}$ ．
   评注:用作差法证明不等式的步骤是：①作差；②变形；③判断符号．其中关键的步骤是“变形”，一般变形的手段是把差式因式分解、配方等．变形结果往往是：(1)变形为常数；(2)变形为非负实数(如完全平方数、绝对值等)；(3)变形为n个因式的乘积(或商)的形式．总之，变形的目的是有利于下一步判断符号；在判断符号时，要有详细的叙述过程，有时还要局部的用基本不等式进行证明或者分类讨论．在使用作商法比较时，要注意说明分母除式的符号．一般来说，证明指数不等式时常用作商法，而证整式不等式、分式不等式、对数不等式时常用作差法，其原则是看是否有利于变形．

    2、若 $a 、 b 、 c$ 是不全相等的正数，求证： $l g (\frac{a + b}{2}) + l g (\frac{b + c}{2}) + l g (\frac{c + a}{2}) > l g (a) + l g (b) + l g (c)$

    提示示范　

    根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法又可用综合法．

    证明:方法一：要证 $l g (\frac{a + b}{2}) + l g (\frac{b + c}{2}) + l g (\frac{c + a}{2}) > l g (a) + l g (b) + l g (c)$ 成立，
    即证 $l g (\frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{c + a}{2}) > l g (a b c)$ 成立．
    只需证 $\frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{c + a}{2} > a b c$ 成立．
    $∵ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} > 0 ， \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{b c} > 0 ， \frac{c + a}{2} \geq \sqrt{c a} > 0$
    $∴ \frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{c + a}{2} \geq a b c > 0$ 成立 (*)
    又 $∵$ a、b、c是不全相等的正数，
    $∴ \frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{c + a}{2} > a b c$
    $∴ l g (\frac{a + b}{2} \cdot \frac{b + c}{2} \cdot \frac{c + a}{2}) > l g (a b c)$
    即 $l g (\frac{a + b}{2}) + l g (\frac{b + c}{2}) + l g (\frac{c + a}{2}) > l g (a) + l g (b) + l g (c)$
    评注:分析法和综合法是对立统一的两个方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程．事实上，单纯应用分析法证题并不多见，常常是在分析过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法．

拓展探究
是否存在常数C，使得不等式

\frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq C \leq \frac{x}{x + 2 y} + \frac{y}{2 x + y}

对任意正数

x 、 y

恒成立？试证明你的结论．

提示	示范
欲探求C的值，不妨先确定 $x 、 y$ 的值，再设法证明．
解:令 $x = y = 1$ ，得 $\frac{2}{3} \leq C \leq \frac{2}{3}$ ， $∴ C = \frac{2}{3} .$ 下面给出证明：先证明 $\frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3}$ $∵ x > 0 ， y > 0$ ，要证 $\frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3}$ ，只需证 $3 x (x + 2 y) + 3 y (2 x + y) \leq 2 (2 x + y) (x + 2 y)$ ，即 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ ，这显然成立， $∴ \frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3}$ 再证 $\frac{x}{x + 2 y} + \frac{y}{2 x + y} \geq \frac{2}{3}$ 只需证 $3 x (x + 2 y) + 3 y (2 x + y) \geq 2 (2 x + y) (x + 2 y)$ ，即 $2 x y \leq x^{2} + y^{2}$ ，这也显然成立， $∴ \frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3}$ 综上所述，存在常数 $C = \frac{2}{3}$ ，使对任何正数 $x 、 y$ 都有 $\frac{x}{2 x + y} + \frac{y}{x + 2 y} \leq \frac{2}{3} \leq \frac{x}{x + 2 y} + \frac{y}{2 x + y}$ 成立．评注:(内容)

基础训练

1、已知

a < b < 0 ， \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = m ， \sqrt[3]{a - b} = n

，则有( )
A．

m > n

B．

m < n

C．

m = n

D．

m \leq n

2、已知不等式

(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{a}{y}) \geq 9

对任意正实数

x ， y

恒成立，则正实数

a

的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3、若

\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0

，则下列不等式：①

a + b < a b

②

| a | > | b |

③

a < b

④

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2

中，正确的不等式有(   )
    A．1个            B．2个            C．3个            D．4个
    4、若

1 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

，则下列结论中不正确的是( )
A．

{log}_{a} b > {log}_{b} a

B．

| {log}_{a} b + {log}_{b} a | > 2

C．

{({log}_{b} a)}^{2} < 1

D．

| | {log}_{a} b | + | {log}_{b} a | | > | {log}_{a} b + {log}_{b} a |

5、满足等式

| \frac{x - 1}{x + 1} | = \frac{1 - x}{1 + x}

的

x

值为______
6、若

0 < β < α < \frac{π}{2}

，则

2 α - β

的取值范围是______
7、已知

a ， b ， c

都是正数，且

a ， b ， c

成等比数列，求证：

a^{2} + b^{2} + c^{2} > {(a - b + c)}^{2}

8、已知

a ， b ， c

为非负实数，试证明

\sqrt{a^{2} + a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + b c + c^{2}} \geq a + b + c

参考答案

1、已知

a < b < 0 ， \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = m ， \sqrt[3]{a - b} = n

，则有( A )
A．

m > n

B．

m < n

C．

m = n

D．

m \leq n

2、已知不等式

(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{a}{y}) \geq 9

对任意正实数

x ， y

恒成立，则正实数

a

的最小值为( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
3、若

\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0

，则下列不等式：①

a + b < a b

②

| a | > | b |

③

a < b

④

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2

中，正确的不等式有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、若

1 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

，则下列结论中不正确的是( D )
A．

{log}_{a} b > {log}_{b} a

B．

| {log}_{a} b + {log}_{b} a | > 2

C．

{({log}_{b} a)}^{2} < 1

D．

| | {log}_{a} b | + | {log}_{b} a | | > | {log}_{a} b + {log}_{b} a |

5、满足等式

| \frac{x - 1}{x + 1} | = \frac{1 - x}{1 + x}

的

x

值为______
答案：

- 1 < x \leq 1

6、若

0 < β < α < \frac{π}{2}

，则

2 α - β

的取值范围是______
答案：

(0 ， π)

7、已知

a ， b ， c

都是正数，且

a ， b ， c

成等比数列，求证：

a^{2} + b^{2} + c^{2} > {(a - b + c)}^{2}

答案：略
8、已知

a ， b ， c

为非负实数，试证明

\sqrt{a^{2} + a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + b c + c^{2}} \geq a + b + c

答案：略

提高训练

1、若

a 、 b \in ℝ

，则使

| a | + | b | > 1

成立的充分不必要条件是( )
A．

| a + b | \geq 1

B．

| a | \geq \frac{1}{2} ， | b | \geq \frac{1}{2}

C．

| a | \geq 1

D．

b < - 1

2、已知

| 8 x | + | y | \leq 8

，则

| x y |

的取值范围是______
3、已知

x 、 y \in ℝ

，且

| x | < 1 ， | y | < 1

，求证：

\frac{1}{1 - x^{2}} + \frac{1}{1 - y^{2}} \geq \frac{2}{1 - x y}

4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度

m

行走，另一半时间以速度

n

行走；有一半路程乙以速度

m

行走，另一半路程以速度

n

行走，如果

m \neq n

，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

参考答案

1、若

a 、 b \in ℝ

，则使

| a | + | b | > 1

成立的充分不必要条件是( D )
A．

| a + b | \geq 1

B．

| a | \geq \frac{1}{2} ， | b | \geq \frac{1}{2}

C．

| a | \geq 1

D．

b < - 1

2、已知

| 8 x | + | y | \leq 8

，则

| x y |

的取值范围是______
答案：

[0 ， 2]

3、已知

x 、 y \in ℝ

，且

| x | < 1 ， | y | < 1

，求证：

\frac{1}{1 - x^{2}} + \frac{1}{1 - y^{2}} \geq \frac{2}{1 - x y}

答案：略
4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度

m

行走，另一半时间以速度

n

行走；有一半路程乙以速度

m

行走，另一半路程以速度

n

行走，如果

m \neq n

，问甲、乙两人谁先到达指定地点．
答案：甲

    学习感悟
    1、不等式的证明，方法灵活多样，综合性强，证明时不仅用到不等式的性质、不等式的证明的技能、技巧，有时还要用到其他数学知识．
    2、利用基本不等式证明不等式时，一要考虑字母或字母组合是否为正，二是考虑相应的积(或和)是否为定值，三要考虑等号成立的条件．
    3、分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，有利于发展求异思维，但综合法表述简单、条理清楚，所以在实际证题中，常用分析法分析，用综合法书写．
    4、注意：用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用作“逆推”，分析法过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．用分析法证明不等式一定要注意正确使用连接“关键词”，如“要证”，“只要证”等．
    5、用反证法往往是当原命题证明不易，改证其逆否命题．解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，反证法中否定结论要对结论的反面一一否定，不能遗漏，且应在推论论证中作为已知条件使用．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少一个”或“至多有一个”等字样的问题．
    6、换元法是不等式证明中的重要方法，常见的有三角换元、均值换元两种，在应用换元法证题时，要注意换元的等价性，三角换元有一定的规律、问题中若含有 $“ x^{2} + y^{2} = R^{2} ， x^{2} + y^{2} \leq R^{2} ， \sqrt{R^{2} - x^{2}} ”$ 等，可以考虑作“三角”代换．
    7、放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标要从证明的结论考察，常用的放缩方法有添项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩，如 ${(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > {(a + \frac{1}{2})}^{2}$ ； $\frac{1}{K (K + 1)} < \frac{1}{K^{2}} < \frac{1}{K (K - 1)}$ ； $\frac{2}{\sqrt{K} + \sqrt{K + 1}} < \frac{1}{\sqrt{K}} < \frac{2}{\sqrt{K} - \sqrt{K + 1}}$ 等．除了上述不等式证明的方法外，不等式还有判别式法、单调性法、构造法、数形结合法、数学归纳法等．

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