一、复习目标
    掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
    (2)在${\displaystyle \Delta ABC}$中，C有解的充要条件是${\displaystyle cosA+cosB>0}$，利用该结论解选择题或填空题，十分方便．
    (3)在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角形变换或代数式的恒等变形（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
    (4)在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理；二是要用三角变换，三角恒等变形的原则和方法都能使用，“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
    (5)在解实际问题时，应正确理解以下角的含义：
    ①方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．
    ②方位角——从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角．
    ③坡度——坡面与水平面的二面角的度数．
    ④仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．

${\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R}$，其中${\displaystyle R}$是${\displaystyle \Delta ABC}$的外接圆半径．

2、余弦定理

${\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=c^2+a^2-2accosB，c^2=a^2+b^2-2abcosC}$，

${\displaystyle cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}，cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}，cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

余弦定理的有关问题：

(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中分别令${\displaystyle A，B，C}$为${\displaystyle 90°}$，上面关系式分别化为${\displaystyle a^2=b^2+c^2，b^2=a^2+c^2，c^2=a^2+b^2}$．

(2)在${\displaystyle \Delta ABC}$中，若，则______，反之成立．

在${\displaystyle \Delta ABC}$中，若${\displaystyle a^2=b^2+c^2}$，则______，反之成立．

在${\displaystyle \Delta ABC}$中，若${\displaystyle a^2>b^2+c^2}$，则______，反之成立．

3、三角形中的常见结论

(1)${\displaystyle A+B+C=180°}$．

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)在任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4、解斜三角形的类型

解斜三角形有下表所示的四种情况：

     
    在${\displaystyle \Delta ABC}$中，已知a、b和A时，解的情况如下：

    应用举例
    一、应用特点
    1、正、余弦定理的应用
    2、正、余弦定理与三角公式的综合应用
    3、正、余弦定理在实际问题中的应用   

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、在${\displaystyle \Delta ABC}$中，已知${\displaystyle a=\sqrt{3}，b=\sqrt{2}，B=45°}$，求边${\displaystyle c}$．

提示	示范
这是已知两边和其中一边的对角，应用正弦定理求解．
解:${\displaystyle \because \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}}$，     ${\displaystyle \therefore sinA=\frac{asinB}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$     又，         ${\displaystyle \therefore A=60°}$或${\displaystyle 120°}$     当${\displaystyle A=60°}$时，${\displaystyle C=75°}$，${\displaystyle c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{\sqrt{2}sin75°}{sin45°}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$     当${\displaystyle A=120°}$时，${\displaystyle C=15°}$，${\displaystyle c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{\sqrt{2}sin15°}{sin45°}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$     评注:已知两边和其中一边的对角，可用正弦定理求其余的边和角，但应注意解的情况，如由${\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}}$，求${\displaystyle B}$时可能有一解、两解或无解，具体判断如下表：

   
    (1)求${\displaystyle AB}$的值；
    (2)求${\displaystyle sin(2A+C)}$的值．

提示	示范
本题(1)问解题关键是将已知条件转化成边角的关系．(2)问应先分别求解2A和角C的正弦和余弦值，然后再利用和角公式求值．
解:(1)由余弦定理，     ${\displaystyle A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2ACBCcosC=4+1-2\times 2\times 1\times \frac{3}{4}=2}$     那么，${\displaystyle AB=\sqrt{2}}$     (2)由${\displaystyle cosC=\frac{3}{4}}$，且，得${\displaystyle sinC=\sqrt{1-{cos}^{2}C}=\frac{\sqrt{7}}{4}}$     由正弦定理，${\displaystyle \frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}}$     解得${\displaystyle sinA=\frac{BCsinC}{AB}=\frac{\sqrt{14}}{8}}$．所以，${\displaystyle cosA=\frac{5\sqrt{2}}{8}}$．     由倍角公式${\displaystyle sin2A=2sinA·cosA=\frac{5\sqrt{7}}{16}}$且${\displaystyle cos2A=1-2{sin}^{2}A=\frac{9}{14}}$，     故${\displaystyle sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=\frac{3\sqrt{7}}{8}}$     评注:本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力 ．

    3、如图，海岛O上有一座海拔1000m高的山，山顶上设有一个观察站A．上午11时测得一轮船在岛北偏东${\displaystyle 60°}$的C处，俯角为${\displaystyle 30°}$；11时30分又测得该船在岛的北偏西${\displaystyle 60°}$的B处，俯角为${\displaystyle 60°}$．求该船的航行速度．

提示	示范
该船从C处到达B处用${\displaystyle \frac{1}{2}}$小时，欲求速度应先求出${\displaystyle BC}$的长．
解:${\displaystyle A0\perp }$平面${\displaystyle OBC}$，在${\displaystyle \Delta AOC}$中，${\displaystyle \angle AOC=90°，AO=1000，\angle OAC=60°}$     ${\displaystyle \therefore OC=1000\sqrt{3}}$ 在${\displaystyle \Delta AOB}$中，${\displaystyle \angle AOB=90°，AO=1000，\angle OAB=30°}$     ${\displaystyle \therefore OB=\frac{1000}{\sqrt{3}}}$     在${\displaystyle \Delta OBC}$中，${\displaystyle \angle BOC=120°}$     由余弦定理得${\displaystyle B{C}^2=O{C}^2+O{B}^2-2OC\cdot OB\cdot cos120°=\frac{13\times {1000}^2}{3}}$     ${\displaystyle \therefore BC=\frac{1000\sqrt{39}}{3}}$     故该船的速度为${\displaystyle \frac{2000\sqrt{39}}{3}\left(\frac{m}{h}\right)}$．    评注:找出相关三角形后，如果边、角都未知，应先用正弦定理或余弦定理求出所需要的边、角 ．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

    1、在${\displaystyle \Delta ABC}$中，${\displaystyle a、b、c}$分别为角${\displaystyle A、B、C}$的对边，${\displaystyle S}$为${\displaystyle \Delta ABC}$的面积，且${\displaystyle 4sinB{sin}^2(\frac{\pi }{4}+\frac{B}{2})+cos2B=1+\sqrt{3}}$
    (1)求角${\displaystyle B}$的度数；
    (2)若${\displaystyle a=4}$，${\displaystyle S=5\sqrt{3}}$，求${\displaystyle b}$的值．

提示	示范
(1)三角函数式的变换中寻求突破口；(2)余弦定理．
解:(1)由${\displaystyle 4sinB{sin}^2(\frac{\pi }{4}+\frac{B}{2})+cos2B=1+\sqrt{3}}$，得${\displaystyle 4sinB·\frac{1-cos(\frac{\pi }{2}+B)}{2}+cos2B=1+\sqrt{3}}$，     即${\displaystyle 2sinB(1+sinB)+1-2{sin}^{2}B=1+\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}}$         ${\displaystyle \therefore B=\frac{\pi }{3}}$或${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$     (2)${\displaystyle \because a=4，S=5\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore \frac{1}{2}acsinB=5\sqrt{3}}$，即${\displaystyle \frac{1}{2}\times 4\times c\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore c=5}$     由余弦定理得${\displaystyle b^2=a^2+c^2-2accos\left(\frac{\pi }{3}\right)=4^2+5^2-2\times 5\times 4\times \left(\frac{1}{2}\right)=21}$     或${\displaystyle b^2=a^2+c^2-2accos\left(\frac{2\pi }{3}\right)=4^2+5^2-2\times 5\times 4\times (-\frac{1}{2})=61}$     ${\displaystyle \therefore B=\sqrt{21}}$或${\displaystyle \sqrt{61}}$．     评注:(1)在三角形中考查三角函数式的变换，是近年来高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和，正、余弦定理以及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口     (2)在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解．

    2、如图，公园内有一块边长为${\displaystyle 2a}$的等边${\displaystyle \Delta ABC}$形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，${\displaystyle D}$在${\displaystyle AB}$上，${\displaystyle E}$在${\displaystyle AC}$上.

     
    (1)设${\displaystyle AD=x(x\ge a)，ED=y}$，求${\displaystyle x}$表示${\displaystyle y}$的函数关系式．
   (2)如果${\displaystyle DE}$是灌溉水管，为节约成本希望它最短，${\displaystyle DE}$的位置应该在哪里？如果${\displaystyle DE}$是参观线路，则希望它最长，${\displaystyle DE}$的位置又应该在哪里？请予以证明．

提示	示范
利用函数的单调性求最值．
解:(1)${\displaystyle \because }$在${\displaystyle \Delta ABC}$中，${\displaystyle D}$在${\displaystyle AB}$上，         ${\displaystyle \because S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}{S}_{\Delta ABC}}$     ${\displaystyle \therefore \frac{1}{2}xAEsin60°=\frac{1}{4}A{B}^{2}sin60°}$，${\displaystyle AE=\frac{2a^2}{x}}$     在${\displaystyle \Delta ADE}$中，由余弦定理得${\displaystyle y^2=x^2+4\frac{a^4}{x^2}-2a^2}$         (2)令${\displaystyle x^2=t}$，则，则${\displaystyle y=\sqrt{t+4\frac{a^4}{t}-2a^2}}$     令${\displaystyle f\left(t\right)=t+4\frac{a^4}{t}-2a^2，t\in [a^2，2a^2)}$时，任取     ${\displaystyle F\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=(t_1-t_2)\frac{t_1{t}_2-4a^4}{t_1{t}_2}}$             即${\displaystyle f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)>0，f\left(t_1\right)>f\left(t_2\right)}$     ${\displaystyle \therefore f\left(t\right)}$在${\displaystyle [a^2，2a^2)}$上是减函数．     同理，${\displaystyle f\left(t\right)}$在${\displaystyle [2a^2，4a^2]}$上是增函数．     又${\displaystyle f\left(a^2\right)=3a^2，f\left(2a^2\right)=2a^2，f\left(4a^2\right)=3a^2}$     当${\displaystyle t=2a^2}$，即${\displaystyle x=\sqrt{2}a}$时，${\displaystyle y_{min}=\sqrt{2}a}$，此时，且${\displaystyle AD=\sqrt{2}a}$     当${\displaystyle t=a^2}$或${\displaystyle 4a^2}$即${\displaystyle x=a}$或${\displaystyle 2a}$时，${\displaystyle y_{max}=\sqrt{3}a}$．     此时${\displaystyle DE}$为${\displaystyle \Delta ABC}$的${\displaystyle AB}$或${\displaystyle AC}$边上的中线．     评注:本题将函数的单调性、最值与解三角形相联系，要注意利用函数的单调性求最大值、最小值的方法．

    学习感悟
   1、在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础，如果题目中同时出现角及边角的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含角或仅含边的关系．
   2、要注意利用${\displaystyle \Delta ABC}$中${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=\pi }$，以及由此推得一些基本关系式${\displaystyle sin(B+C)=sinA}$，${\displaystyle cos(B+C)=-cosA}$，${\displaystyle tan(B+C)=-tanA}$，${\displaystyle sin\left(\frac{B+C}{2}\right)=\text{cos}\frac{C}{2}}$等进行三角变换的运用．
   3、许多与平面图形有关的实际问题，需要运用三角形中的有关知识，并借助于三角函数的性质及三角变换来解决．其一般步骤是：
    ①准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语；
    ②根据题意画出图形；
    ③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解，并作答．