一、复习目标
    掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能够熟练运用；掌握平移公式．

    二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
   (1)点${\displaystyle P}$分有向线段${\displaystyle \overrightarrow{P_1{P}_2}}$所成的比是所分两有向线段的数量比，而不是长度比，也不是向量的比，其分子是起点到分点的 有向线段的数量，分母是分点到终点的有向线段的数量，分子、分母不能颠倒．
    因此，点${\displaystyle P}$分有向线段${\displaystyle \overrightarrow{P_1{P}_2}}$的比不等于${\displaystyle P}$分${\displaystyle \overrightarrow{P_2{P}_1}}$的比．
   (2)在${\displaystyle P_1}$、${\displaystyle P}$、${\displaystyle P_2}$三点中，任何一个点都可以看作起点、分点、终点，解题时可以灵活选取分点，以方便计算．
    (3)确定${\displaystyle \lambda }$值时，可以画图形，先求长度比再看数量比${\displaystyle \lambda }$，也可利用向量的线性运算直接求出．
   (4)将一个图形平移，图形的大小、形状不变，只是它在坐标中的位置发生了变化．因此，在平移前后，图形中那些与位置无关的几何量，如面积、图形上两点间的距离等都是不变的；
   而那些与位置有关的量，如图形上的点的坐标、图形的解析式等都会发生变化，利用图形的平移，可以使复杂的函数解析式变得简单，以便研究函数的性质．
    (5)向量平移后，向量的坐标不会变化，而它的起点、终点的坐标是发生变化的．
    (6)平移公式中有三个量，即平移前点的坐标、平移后点的坐标、向量的坐标，这三者“知二能求一”．
   (7)将点P平移到${\displaystyle P\text{'}}$，能产生这种效果的向量是唯一的，把曲线(非直线)平移的向量一般也是唯一的；但将直线l平移到直线${\displaystyle l}$，能产生这种效果的向量不是唯一的，要特别注意．

    应用举例
    一、应用特点
    1、掌握定比分点的定义，灵活运用定比分点公式和平移公式解题
    2、运用平移变换简化解析式，从而研究其性质解题
    3、运用定比分点公式与平移公式的向量形式解题

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、线段AB的端点坐标分别为${\displaystyle A(-1，1)}$，${\displaystyle B(-2，0)}$且${\displaystyle \left|AC\right|=\sqrt{2}\left|CB\right|}$，当${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$三点共线时，求${\displaystyle C}$点的坐标．

提示	示范
${\displaystyle \because A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$三点共线，且${\displaystyle \left|AC\right|=\sqrt{\left|CB\right|}}$，${\displaystyle \therefore C}$为内分点，也可分为外分点．     当${\displaystyle C}$为内分点时，${\displaystyle \lambda =\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=\frac{\left|AC\right|}{\left|CB\right|}=\sqrt{2}}$；     当${\displaystyle C}$为外分点时，${\displaystyle \lambda =\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{CB}}=-\frac{\left|AC\right|}{\left|CB\right|}=-\sqrt{2}}$，用定比分点坐标公式可分别求出${\displaystyle C}$点的坐标．
解:(1)当${\displaystyle C}$为内分点时，${\displaystyle \lambda =\sqrt{2}}$     ${\displaystyle \therefore \{\begin{array}{l}x=\frac{-1-2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-3\\ y=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\end{array}}$     ${\displaystyle \therefore C}$点的坐标为${\displaystyle (\sqrt{2}-3，\sqrt{2}-1)}$    (2)当${\displaystyle C}$为外分点时，${\displaystyle \lambda =-\sqrt{2}}$     ${\displaystyle \therefore \{\begin{array}{l}x=\frac{-1+2\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-3\\ y=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1\end{array}}$     ${\displaystyle \therefore C}$点的坐标为${\displaystyle (-\sqrt{2}-3，-\sqrt{2}-1)}$     评注:本题主要考查线段定比分点坐标公式的应用，特别注意内分点与外分点的区别

(1)求函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 的最大值和最小正周期；

(2)将函数${\displaystyle f\left(x\right)}$的图象按向量${\displaystyle \overrightarrow{d}}$平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的${\displaystyle \overrightarrow{d}}$．

提示	示范
本题主要考查利用函数图象的平移实质进行方程的化简，从而解决所求问题
解:(1)由题意得，${\displaystyle f\left(x\right)=\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$     ${\displaystyle =(sinx，-cosx)·(sinx-cosx，sinx-3cosx)}$     ${\displaystyle ={sin}^{2}x-2sinxcosx+3{cos}^{2}x=2+cos2x-sin2x}$     ${\displaystyle =2+\sqrt{2}sin(2x+\frac{3\pi }{4})}$．     所以，${\displaystyle f\left(x\right)}$的最大值为${\displaystyle 2+\sqrt{2}}$，最小正周期是${\displaystyle \frac{2\pi }{2}=\pi }$．    (2)由${\displaystyle sin(2x+\frac{3\pi }{4})=0}$得${\displaystyle 2x+\frac{3\pi }{4}=k\pi }$，即${\displaystyle x=\frac{k\pi }{2}-\frac{3\pi }{4}，k\in \mathbb{Z}}$于是${\displaystyle \overrightarrow{d}=(\frac{3\pi }{8}-\frac{k\pi }{2}，-2)}$，${\displaystyle \left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{(\frac{3\pi }{8}-\frac{k\pi }{2})}^2}+4}$，${\displaystyle k\in \mathbb{Z}}$．     因为${\displaystyle k}$为整数，要使${\displaystyle \left|\overrightarrow{d}\right|}$最小，则只有${\displaystyle k=1}$，此时${\displaystyle \overrightarrow{d}=(-\frac{\pi }{8}，-2)}$即为所求．     评注:

    3、(1)在${\displaystyle \Delta ABC}$中，${\displaystyle D}$是${\displaystyle BC}$上一点，${\displaystyle \frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}=\frac{1}{2}}$，设${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}}$，${\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}}$，试用${\displaystyle \overrightarrow{a}}$，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$表示${\displaystyle \overrightarrow{AD}}$；
    (2)设${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别三等分${\displaystyle \Delta ABC}$的所在各边即${\displaystyle BC=3BD}$，${\displaystyle CA=3CE}$，${\displaystyle AB=3AF}$(如下图)

    
    求证：${\displaystyle \Delta ABC}$与${\displaystyle \Delta DEF}$有相同的重心．

提示	示范
本题主要考查定比分点公式与平移公式的向量形式
解:(1)在${\displaystyle \Delta ABC}$中，${\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}}$    ①     在${\displaystyle \Delta ADC}$中，${\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{CD}}$    ②     又${\displaystyle \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}$    ③     由①②③得：${\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}}$     (2)设${\displaystyle \Delta ABC}$的重心为${\displaystyle O}$，${\displaystyle P}$是${\displaystyle AB}$的中点，则${\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}}$     ${\displaystyle \because O}$是${\displaystyle \Delta ABC}$的重心，     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{CO}=2\overrightarrow{OP}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}}$，即${\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}}$     而${\displaystyle \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD})+((\overrightarrow{OC}+\left(\overrightarrow{CE}\right))+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AF})}$     =${\displaystyle (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF}}$     =${\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{0}}$     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle O}$也是${\displaystyle \Delta DEF}$的重心，故${\displaystyle \Delta DEF}$和${\displaystyle \Delta ABC}$的重心重合．     评注:三角形重心是常考查的知识点，注意掌握．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、设曲线C的方程为${\displaystyle y=x^3-x}$，将曲线C按向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(h，k)}$平移后得曲线${\displaystyle C_1}$．
    (1)写出曲线${\displaystyle C_1}$的方程；
    (2)证明曲线${\displaystyle C}$与${\displaystyle C_1}$关于点${\displaystyle A(\frac{h}{2}，\frac{k}{2})}$对称．

提示	示范
曲线平移后关于点(直线)对称的曲线方程的 ，即证明从原曲线${\displaystyle C}$上任取一点关于某点(直线)对称的点在另一条曲线${\displaystyle C_1}$上，同时还要证明在曲线${\displaystyle C_1}$上任取一点关于某点(直线)对称的点也在原曲线${\displaystyle C}$上．
解:(1)设${\displaystyle P(x，y)}$为曲线${\displaystyle C}$上任意一点，按向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(h，k)}$平移后得对应点${\displaystyle p\text{'}(x\text{'}，y\text{'})}$，     由平移公式得${\displaystyle \{\begin{array}{l}x\text{'}=x+h\\ \text{y'=y+k}\end{array}}$，所以${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=x\text{'}-h\\ \text{y=y'-k}\end{array}}$     代入${\displaystyle y=x^3-x}$中，得${\displaystyle y\text{'}-k={(x＇-h)}^3-(x\text{'}-h)}$，即平移后的曲线${\displaystyle C_1}$的方程为${\displaystyle y={(x-h)}^3-(x-h)+k}$．    (2)证明：在曲线${\displaystyle C}$上任取一点${\displaystyle B_1(x_1，y_1)}$，设点${\displaystyle B_2(x_2，y_2)}$是点${\displaystyle B_1}$关于点${\displaystyle A}$的对称点，即${\displaystyle A}$为${\displaystyle B_1}$与${\displaystyle B_2}$的中点，     所以有${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}=\frac{h}{2}，\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{k}{2}}$    所以${\displaystyle x_1=h-x_2，y_1=k-y_2}$，代入曲线${\displaystyle C}$的方程中，     得${\displaystyle x_2}$和${\displaystyle y_2}$满足方程${\displaystyle k-y_2={(h-x_2)}^3-(h-x_2)\Rightarrow y_2={(x_2-h)}^3-(x_2-h)+k}$．     由此可知点${\displaystyle B_2(x_2，y_2)}$在曲线${\displaystyle C_1}$上的任意点关于点${\displaystyle A}$的对称点也在曲线${\displaystyle C}$上，     综上，曲线${\displaystyle C}$与${\displaystyle C_1}$关于点${\displaystyle A}$对称．     评注:图形的平移问题，实质上就是点的平移问题．在求解时，应把握好图形的先后顺序与平移公式中字母的对应关系，公式中的x、y与原图形的解析式中的字母相对应，而公式中的x'、y'与平移后图形的解析式中的字母相对应．若已知平移后图形的解析式y=f(x)，这里y=f(x)中的x、y应视为公式中的x'、y'，而不是x、y，利用图形的平移公式可以把曲线的较复杂的解析式化成较简单的形式，以便于研究曲线的性质，这是学习图形平移的目的之一，也体现了转化的思想方法．用图形平移化简解析式的方法一般有待定系数法、配方法、换元法等，其中配方法更为简捷．     曲线平移后关于点(直线)对称的曲线方程的求法有固定的模式，即证明从原曲线${\displaystyle C}$上任取一点关于某点(直线)对称的点在另一条曲线${\displaystyle C_1}$上，同时还要证明在曲线${\displaystyle C_1}$上任取一点关于某点(直线)对称的点也在原曲线${\displaystyle C}$上．

    2、已知曲线${\displaystyle x^2+2y^2+4x+4y+4=0}$按向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(2，1)}$平移后得到曲线${\displaystyle C}$．
    (1)求曲线${\displaystyle C}$的方程；
   (2)过点${\displaystyle D(0，2)}$的直线与曲线${\displaystyle C}$交于不同的两点${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$，且${\displaystyle M}$在${\displaystyle D}$、${\displaystyle N}$之间，设${\displaystyle \overrightarrow{DM}=\lambda \overrightarrow{MN}}$，试求实数${\displaystyle \lambda }$的取值范围．

提示	示范
(1)利用平移公式；(2)设点M、N的坐标，建立关于${\displaystyle \lambda }$的方程组．
解:(1)原曲线即为${\displaystyle {(x+2)}^2+2{(y+1)}^2=2}$，则平移后的曲线为${\displaystyle x^2+2y^2=2}$，即${\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1}$．     (2)设${\displaystyle M(x_1，y_1)}$，${\displaystyle N(x_2，y_2)}$，则${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\lambda x_2}{1+\lambda }\\ y_1=\frac{2+\lambda y_2}{1+\lambda }\end{array}}$     由于点${\displaystyle M、N}$在${\displaystyle x^2+2y^2=2}$上，则${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1^2+2y_1^2=2\\ x_2^2+2y_2^2=2\end{array}}$     即${\displaystyle \{\begin{array}{l}{\left(\frac{\lambda x_2}{1+\lambda }\right)}^2+2{\left(\frac{2+\lambda y_2}{1+\lambda }\right)}^2=2\\ x_2^2+2y_2^2=2\end{array}}$     消去${\displaystyle x_2^2}$，得${\displaystyle 2{\lambda }^2+8\lambda y_2+8=2{\lambda }^2+4\lambda +2}$，     即${\displaystyle y_2=\frac{2\lambda -3}{4\lambda }}$         ${\displaystyle \therefore \frac{2\lambda -3}{4\lambda }\in [-1，1]}$     又${\displaystyle \because \lambda >0}$，故${\displaystyle \lambda \ge \frac{1}{2}}$     ${\displaystyle \therefore \lambda }$的取值范围是${\displaystyle [\frac{1}{2}，+\infty )}$     评注:求字母的取值范围常用的方法有建立字母的不等式或不等式组；建立字母的函数式，将求字母取值范围的问题转化为求函数的值域；数形结合．

    学习感悟
   1、三个点${\displaystyle P、P_1、P_2}$共线，才能求定比${\displaystyle \lambda }$，因此，定比分 点法可以反过来用于证明三点共线．比如已知${\displaystyle P_1(x_1，y_1)}$，${\displaystyle P_2(x_2，y_2)}$，${\displaystyle P(x_0，y_0)}$，可以利用${\displaystyle \lambda =\frac{x_0-x_1}{x_2-x_0}}$，求出横坐标为${\displaystyle x_0}$的${\displaystyle P_1{P}_2}$上的对应点的纵坐标${\displaystyle y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }=y_0}$，从而得出${\displaystyle (x_0，y_0)}$在${\displaystyle P_1{P}_2}$上．
   2、在${\displaystyle P、P_1、P_2}$三点中，任何一个点都可以看作起点、分点、终点，解题时可以灵活选取分点，以方便计算．
    3、确定${\displaystyle \lambda }$值时，可以画图形，先求长度比再看数量比${\displaystyle \lambda }$，也可利用向量的线性运算直接求出．
    4、将一个图形平移，图形的大小、形状不变，只是它在坐标系中的位置发生了变化．因此，在平移前后，图形中那些与位置上关的几何量，如面积、图形上两点间的距离都是不变的；而那些与位置有关的量，如图形上的点的坐标、图形的解析式等都会发生变化，利用图形的平移，可以使复杂的函数解析式变得简单，以便研究函数的性质．