二、重点难点
    (这里输入)

    三、特别提示
    (1)平面向量的数量积是一个数，可正、可负、可为零，且，若${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta }$，则
    当${\displaystyle \theta =90°}$时，${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$；
    当${\displaystyle \theta \in [0°，90°)}$时，${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}>0}$；
    当${\displaystyle \theta \in (90°，180°]}$时，；
    当用坐标形式计算向量的数量积时，其结果仍是一个数，数的符号含在计算结果中．
   (2)当${\displaystyle \overrightarrow{a}\ne 0}$时，由${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$不能推出${\displaystyle \overrightarrow{b}=0}$，这是因为对任一个与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$垂直的非零向量${\displaystyle \overrightarrow{b}}$都有${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$．当${\displaystyle \overrightarrow{a}\ne 0}$且${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}$时，也不能推出${\displaystyle \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}}$，因为当${\displaystyle \overrightarrow{b}}$是与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$垂直的非零向量时，有${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}$，但${\displaystyle \overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{c}}$，也就是向量的数量积不满足消去律．
    (3)向量的数量积不同于实数的积，不能把实数积的运算法则照搬到向量的数量积上来.
   特别地，向量的数量积不满足结合律，即${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$，这是因为${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}$和${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}}$都是一个实数，故${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}}$是与${\displaystyle \overrightarrow{c}}$共线的向量，${\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$是与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$共线的向量，而${\displaystyle \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{c}}$不一定共线，所以${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}}$不一定等于${\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$．
   (4)注意：${\displaystyle x_1{y}_2-x_2{y}_1=0}$与${\displaystyle x_1{x}_2+y_1{y}_2=0}$不同，前者是两向量${\displaystyle \overrightarrow{a}=(x_1，y_1)，\overrightarrow{b}=(x_2，y_2)}$共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
   (5)利用向量的数量积可以解决几何中两线垂直、两线的夹角及线段的长度问题，只需把问题转化为向量来表示，用向量的运算来求解，并且建立适当的坐标系，用向量的坐标运算更方便，真正实现几何问题代数化．

    应用举例
    一、应用特点
    1、平面向量的数量积定义及其几何意义
    2、向量的平行、垂直、长度和夹角
    3、运用向量的数量积解决几何问题

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知${\displaystyle \overrightarrow{a}=(2，3)}$，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(-1，-2)}$，${\displaystyle \overrightarrow{c}=(2，1)}$，试求${\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$和${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}}$的值．

提示	示范
运用向量的数量积的定义求解．
解:${\displaystyle \because \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}}$     =${\displaystyle [-1\times 2+(-2)\times 1]\overrightarrow{a}}$     =-4(2，3)     =(-8，-12)${\displaystyle }$     同理得：${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}=(-16，-8)}$     评注:向量满足交换律和分配律，此例说明向量的数量积不满足结合律．

    2、设向量${\displaystyle \overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}}$满足${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}}$，${\displaystyle (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{c}}$，${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}}$，若${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=1}$，则${\displaystyle {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2}$的值是       

提示	示范
本题考查向量的代数运算，基础题．向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想．
解:${\displaystyle (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp \overrightarrow{c}}$，${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}}$，${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}}$，     答案：4     评注:在求向量数量积时，注意夹角范围，注意时有${\displaystyle \theta =0°}$和${\displaystyle \theta =180°}$两种情形，${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$．

    3、 已知平面四边形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}，\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{d}}$，且${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}·\overrightarrow{d}=\overrightarrow{d}·\overrightarrow{a}}$，试判断四边形${\displaystyle ABCD}$的形状．

提示	示范
判断四边形ABCD的形状，就要明确四边形各边的位置关系与长度关系．
解:方法一: ${\displaystyle \because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}}$，     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$     ${\displaystyle \therefore {(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^2={(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}^2}$     即：${\displaystyle {\left(\overrightarrow{a}\right)}^2+2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\left(\overrightarrow{b}\right)}^2={\left(\overrightarrow{c}\right)}^2+2\overrightarrow{c}·\overrightarrow{d}+{\left(\overrightarrow{d}\right)}^2}$     又${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}·\overrightarrow{d}，}$     ${\displaystyle \therefore {\left(\overrightarrow{a}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{b}\right)}^2={\left(\overrightarrow{c}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{d}\right)}^2}$     同理：${\displaystyle {\left(\overrightarrow{a}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{d}\right)}^2={\left(\overrightarrow{b}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{c}\right)}^2}$     ${\displaystyle \therefore {\left(\overrightarrow{a}\right)}^2={\left(\overrightarrow{c}\right)}^2}$且${\displaystyle {\left(\overrightarrow{b}\right)}^2={\left(\overrightarrow{d}\right)}^2}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ABCD}$是平行四边形．     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{c}}$．     而${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}}$     ${\displaystyle \therefore 2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$．     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ABCD}$是矩形．     方法二：因为${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}，}$     ${\displaystyle \therefore (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})·\overrightarrow{b}=0}$．     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{b}\perp (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})}$．     同理：${\displaystyle \overrightarrow{d}\perp (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})}$     又${\displaystyle ABCD}$是四边形，     ．同理：     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ABCD}$是平行四边形．     又${\displaystyle \therefore \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{c}}$，故${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$ 即${\displaystyle \overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ABCD}$是矩形．     评注:注意运用向量的数量积的性质${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$解决几何问题

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.)

   1、已知${\displaystyle \overrightarrow{OP}=(2，1)}$，${\displaystyle \overrightarrow{OA}=(1，7)}$，${\displaystyle \overrightarrow{OB}=(5，1)}$，设${\displaystyle X}$是直线${\displaystyle OP}$上的一点，其中${\displaystyle O}$是坐标原点．
    (1)求使${\displaystyle \overrightarrow{XA}·\overrightarrow{XB}}$取最小值时的${\displaystyle \overrightarrow{OX}}$；
    (2)对(1)中求出的点${\displaystyle X}$，求${\displaystyle \angle AXB}$的余弦值．

提示	示范
本题主要考查平面向量数量积运算性质.
解:(1)设${\displaystyle \overrightarrow{OX}=t}$，${\displaystyle \overrightarrow{OP}=(2t，t)}$，则${\displaystyle \overrightarrow{XA}=(1-2t，7-t)}$，${\displaystyle \overrightarrow{XB}=(5-2t，1-t)}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{XA}·\overrightarrow{XB}=(5-2t)(1-2t)+(1-t)(7-t)=5t^2+20t+12}$．     当${\displaystyle t=2}$时，${\displaystyle \overrightarrow{XA}·\overrightarrow{XB}}$有最小值，此时${\displaystyle \overrightarrow{OX}=(4，2)}$．     (2)${\displaystyle \overrightarrow{XA}=(-3，5)}$，${\displaystyle \overrightarrow{XB}=(1，-1)}$     ${\displaystyle \left|\overrightarrow{XA}\right|=\sqrt{34}}$，${\displaystyle \left|\overrightarrow{XB}\right|=\sqrt{2}}$，    ${\displaystyle \therefore cos\angle AXB=\frac{\overrightarrow{XA}·\overrightarrow{XB}}{\left|\overrightarrow{XA}\right|·\left|\overrightarrow{XB}\right|}=\frac{(-3，5)·(1，-1)}{\sqrt{34}·\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{17}}{17}}$．     评注:平面向量的数量积是解决垂直、夹角等问题的重要方法．

    2、如图所示，${\displaystyle P}$是正方形${\displaystyle ABCD}$的对角线${\displaystyle BD}$上一点，${\displaystyle PECF}$是矩形，用向量法证明：
    (1)${\displaystyle PA=EF}$；   (2)${\displaystyle PA\perp EF}$

提示	示范
建立平面直角坐标系，赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
证明:建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为1，${\displaystyle \overrightarrow{DP}=\lambda }$，则${\displaystyle A(0，1)}$，${\displaystyle P(\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda ，\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}$，${\displaystyle E(1，\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}$，${\displaystyle F(\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda ，0)}$，     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{PA}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda ，1-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}$     ${\displaystyle \overrightarrow{EF}=(\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda -1，-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}$     (1)${\displaystyle \because {\left|\overrightarrow{PA}\right|}^2={(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}^2+{(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}^2={\left(\lambda \right)}^2-\sqrt{2}\lambda +1}$     ${\displaystyle {\left|\overrightarrow{EF}\right|}^2={(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda -1)}^2+{(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )}^2={\left(\lambda \right)}^2-\sqrt{2}\lambda +1}$     ${\displaystyle \therefore {\left|\overrightarrow{PA}\right|}^2={\left|\overrightarrow{EF}\right|}^2}$，故${\displaystyle PA=EF}$     (2)${\displaystyle \therefore \overrightarrow{PA}·\overrightarrow{EF}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )(\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda -1)+(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )(-\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda )=0}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{EF}}$，即${\displaystyle PA\perp EF}$．     评注:本题通过建立适当的坐标系赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．应深刻领悟其中的数形结合思想．此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简．

    学习感悟
   1、由于数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来，在数量积运算中除可运用3条运算律外，其他经常在代数中使用的运算或规律不一定成立．以下三点要特别注意：
   第一点，当${\displaystyle a\ne 0}$时，${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$不能推出${\displaystyle \overrightarrow{b}}$一定是零向量．这是因为任一与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$垂有的非零向量${\displaystyle \overrightarrow{b}}$，都有${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$，所以在代数中我们常用的“若${\displaystyle ab=0}$，则${\displaystyle a=0}$或${\displaystyle b=0}$”在向量的数量积中不适用．
    第二点，则${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}}$，不能推出${\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}}$，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式；而${\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}}$是一个向量等式，所以二者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约实质是相除，这是不允许的．实际上从下图中看出，虽然${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}}$但${\displaystyle \overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{c}}$．这就是说，在代数中常见的${\displaystyle 2x=6}$则${\displaystyle x=3}$的变形在数量积中不适用．
   第三点，结合律对数量积不成立，即${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$．这是因为${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}}$表示一个与向量${\displaystyle \overrightarrow{c}}$共线的向量，而${\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$表示一个与向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$共线的向量，但向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$与向量${\displaystyle \overrightarrow{c}}$不一定共线，即使共线，其积也不一定相等，所以${\displaystyle (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})}$
   2、利用${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0}$(向量式)，即${\displaystyle \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2=0}$(坐标式)来证明两条直线垂直，使判断直线垂直又多了一种简便的方法．要注意将${\displaystyle x_1{x}_2+y_1{y}_2=0}$ 和判断平行的${\displaystyle x_1{y}_2-x_2{y}_1=0}$区别开，不要混淆.记忆的方法还是参照${\displaystyle y=kx+}$${\displaystyle b}$中，当${\displaystyle k_1=k_2}$中，两直线平行；而${\displaystyle k_1{k}_2=-1}$时二直线垂直，即${\displaystyle \frac{y_1}{x_1}·\frac{y_2}{x_2}=-1}$，于是${\displaystyle x_1{x}_2+y_1{y}_2=0}$．
   3、由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总可有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．