一、复习目标   
    1、了解共线向量的概念、平面向量的基本定理；会将平面向量用两个非共线向量表示.
    2、理解向量的概念，理解两个向量共线的充要条件.
    3、掌握向量的几何表示，向量的加法与减法、实数与向量的积.
　  二、重点难点
   
    三、特别提示
    1、共线向量也称平行向量，表示两向量的有向线段所在的两直线是平行或重合的，这与两直线平行是有区别的.两向量是否平行可由共线向量定理来判断.用共线向量可以证明三点共线、两线平行等几何问题，但要注意两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.否则，只可得两线平行.
    2、${\displaystyle \overrightarrow{0}}$与0不同，${\displaystyle \overrightarrow{0}}$表示既有大小又有方向(方向是任意的)的向量，即零向量.而0表示一个实数，几个向量进行加法、减法、数乘运算后的结果还是向量，因此，${\displaystyle \lambda =0}$时，${\displaystyle \lambda =\overrightarrow{0}}$，而不是${\displaystyle \lambda =0}$，${\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}}$，而不是${\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}}$${\displaystyle =0}$
    3、向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使它们首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是这些向量的和向量.
    4、向量减法的三角形法则的应用，应先平移两个向量使其具有相同的起点，连接两个终点，方向指向被减数的向量就是两个向量的差，可简记为“共起点，连终点，方向指向被减向量的终点”.
    5、实数与向量乘积的运算律与实数乘法的运算律很相似，所以在运算时可像整式的加减运算一样去括号、合并同类项等，同时注意符号的变化.

    1、向量的有关概念
    (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模).
    (2)零向量：长度为${\displaystyle 0}$的向量叫做零向量，其方向是任意的.
    (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
    (4)平行向量：方向相同或相反的一组向量.平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以平移到同一直线上.规定：${\displaystyle \overrightarrow{0}}$与任一向量平行.
    (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
    (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
    2、向量的表示方法
    (1) 字母表示法，如：${\displaystyle \overrightarrow{a}}$，${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$等.
    (2) 几何表示法：用一条有向线段表示向量.
   (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$的起点O在坐标原点，终点坐标为${\displaystyle (x，y)}$，则${\displaystyle (x，y)}$称为${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$的坐标，记为${\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x，y)}$.
    3、向量的加法和减法
    (1)加法
    ①法则：向量加法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则.加法定义即三角形法则；以${\displaystyle \overrightarrow{a}}$、${\displaystyle \overrightarrow{b}}$为邻边作平行四边形${\displaystyle ABCD}$(取同一起点)，即${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}}$，${\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}}$，则${\displaystyle \overrightarrow{AC}}$即为${\displaystyle \overrightarrow{a}}$、${\displaystyle \overrightarrow{b}}$的和.
    ②运算性质：
    ${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}}$(交换律)
    ${\displaystyle (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$(结合律)
    ${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}}$
    ③加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示

    (2)减法
    ①法则：平行四边形法则
    ②几何意义：如图所示

    4、实数与向量的积
   (1)定义：实数${\displaystyle \lambda }$与向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$的积是一个向量，记作${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}}$，它的长度与方向规定如下：
    ①${\displaystyle \left|\lambda \overrightarrow{a}\right|=\left|\lambda \right|\left|\overrightarrow{a}\right|}$
    ②当${\displaystyle \lambda >0}$时，${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$的方向相同；
    当时，${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{a}}$的方向相反；
    当${\displaystyle \lambda =0}$时，${\displaystyle \lambda \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}}$.
    (2)运算律：设${\displaystyle \lambda ，\mu \in ℝ}$，则：
    ①${\displaystyle \lambda \left(\mu \overrightarrow{a}\right)=\left(\lambda \mu \right)\overrightarrow{a}}$
    ②${\displaystyle (\lambda +\mu )\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{a}}$
    ③${\displaystyle \lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}}$
    5、两个向量共线定理
   向量${\displaystyle \overrightarrow{b}}$与${\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0})}$共线的充要条件是有且只有一个实数${\displaystyle \lambda }$，使得${\displaystyle \overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}}$
    6、平面向量基本定理
   如果${\displaystyle \overrightarrow{e_1}}$，${\displaystyle \overrightarrow{e_2}}$是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$，有且只有一对实数${\displaystyle {\lambda }_1}$，${\displaystyle {\lambda }_2}$，使${\displaystyle \overrightarrow{a}}$${\displaystyle ={\lambda }_1\overrightarrow{e_1}+}$${\displaystyle {\lambda }_2\overrightarrow{e_2}}$
    我们把不共线的向量${\displaystyle \overrightarrow{e_1}}$，${\displaystyle \overrightarrow{e_2}}$叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.

    应用举例
    一、应用特点
    1、向量及相关的概念和性质的应用
    2、用两个向量共线的充要条件和平面向量的基本定理解题
    3、利用向量方法解决平面几何中的位置关系问题

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、判断下列命题的真假
    (1)向量${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$的长度与向量${\displaystyle \overrightarrow{BA}}$的长度相等；
    (2)向量${\displaystyle \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{b}}$平行，则${\displaystyle \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{b}}$的方向相同或相反；
    (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.

提示	示范
本题考查对基本概念的理解，只要紧扣向量、零向量、自由向量、共线向量、向量的表示等概念就可以正确判断.
解:(1)真命题.有公式${\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|}$.     (2)假命题.若${\displaystyle \overrightarrow{a}}$与${\displaystyle \overrightarrow{b}}$中有一个为零向量时，其方向是不确定的.     (3)真命题.同起点、同方向、等长度的两个向量重合，其终点必相同.     评注:理解向量、零向量、自由向量、共线向量、向量的表示等概念

   2、${\displaystyle ABC}$的三内角${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$所对应边的长分别为${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，设向量${\displaystyle \overrightarrow{p}=(a+c，b)}$、${\displaystyle \overrightarrow{q}=(b-a，c-a)}$.若，则角C的大小为(   )
    A.${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$       B.${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$       C.${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$       D.${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

提示	示范
由，得${\displaystyle \overrightarrow{p}=\lambda \overrightarrow{q}}$，即${\displaystyle (a+c)(c-a)=b(b-a)}$.
解:,利用余弦定理可得${\displaystyle 2cosC=1}$，即${\displaystyle cosC=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle C=\frac{\pi }{3}}$，故选择答案B.     答案：B     评注:本题考查了两向量平行的坐标形式及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力.

提示	示范
由三角形重心的性质： ${\displaystyle GA=2GD,GB=2GE,GC=2GF}$和向量的加法法则，不难得证.
解:方法一：     ${\displaystyle 2(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EC}}$，     ${\displaystyle \because \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}}$     ${\displaystyle \therefore 2(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}+2\overrightarrow{GD}=-(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA})}$     故${\displaystyle 3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=\overrightarrow{0}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}$     方法二：延长${\displaystyle BE}$至${\displaystyle H}$，使${\displaystyle EH=EG}$，连接${\displaystyle HC}$、${\displaystyle HA}$，显然四边形${\displaystyle AGCH}$是平行四边形，于是${\displaystyle \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GH}}$.     ${\displaystyle \because \overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GB}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GB}}$.     故${\displaystyle \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}$    评注:运用向量加法的平行四边形法则或三角形法则将一个向量表示成${\displaystyle n}$个向量的和，或将${\displaystyle n}$个向量的和表示为一个向量，是解决平面几何问题的重要手段.

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、已知非零向量${\displaystyle \overrightarrow{e_1}}$、${\displaystyle \overrightarrow{e_2}}$不共线，
    (1)若${\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}}$，${\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{e_1}+8\overrightarrow{e_2}}$，${\displaystyle \overrightarrow{CD}=3(\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})}$，求证：${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle D}$三点共线；
    (2)欲使${\displaystyle k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}}$与${\displaystyle \overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}}$共线，求实数${\displaystyle k}$的值.

提示	示范
要证明${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$三点共线，只要用该三点任意构造两向量(如：${\displaystyle \overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}}$)，证明它们共线就可以了.
解:(1)${\displaystyle \because \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=5\overrightarrow{e_1}+5\overrightarrow{e_2}=5\overrightarrow{AB}}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{BD}}$、${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$共线.     又${\displaystyle \overrightarrow{BD}}$、${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$共一点，     ${\displaystyle \therefore A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle D}$共线.    (2)当${\displaystyle k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}}$与${\displaystyle \overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}}$共线时，必有实数${\displaystyle t}$，时 ${\displaystyle k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}=t\overrightarrow{e_1}+kt\overrightarrow{e_2}}$，     而${\displaystyle \overrightarrow{e_1}}$、${\displaystyle \overrightarrow{e_2}}$不共线，     ${\displaystyle \therefore \{\begin{array}{l}k=t\\ \text{kt=1}\end{array}}$     ${\displaystyle \therefore k=\pm 1}$     评注:证明三点共线问题可转化为证明两向量平行，这是数形结合思想的具体体现，但要弄清两向量平行的含义，即两向量所在的直线平行或重合时，两向量平行，因此证得两向量平行后，若两向量所在的直线有公共点，则两直线必重合，从而可得三点共线.一般地，要证明${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$三点共线，只要用该三点任意构造两向量(如：${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$、${\displaystyle \overrightarrow{BC}}$)，证明它们共线就可以了.

    2、${\displaystyle O}$是平面上一定点，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$是平面上不共线的三个点，动点${\displaystyle P}$满足${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|})，\lambda \in [0，+\infty )}$，则P的轨迹一定通过${\displaystyle \Delta ABC}$的(   )
    A.外心       B.内心       C.重心       D.垂心

提示	示范
如图，令${\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\overrightarrow{A{B}_1}，\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\overrightarrow{A{C}_1}}$
解:方法一：${\displaystyle \overrightarrow{A{B}_1}+\overrightarrow{A{C}_1}=\overrightarrow{A{P}_1}}$，则动点P满足${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{A{P}_1}，\lambda \in [0，+\infty )}$，所以点${\displaystyle P}$的轨迹是由点${\displaystyle A}$出发的射线${\displaystyle A{P}_1}$     因为     所以四边形${\displaystyle A{B}_1{P}_1{C}_1}$为菱形     所以${\displaystyle A{P}_1}$平分${\displaystyle \angle BAC}$.     因此，点P的轨迹一定通过${\displaystyle \Delta ABC}$的内心.     方法二：当${\displaystyle \lambda >0}$时，     因为${\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|})\ne \overrightarrow{0}}$     所以         得     又因为两向量夹角${\displaystyle \theta \in [0°，180°]}$上递减，     所以     因为${\displaystyle A、B、C}$不共线，所以${\displaystyle A{P}_1}$平分${\displaystyle \angle BAC}$，得点${\displaystyle P}$的轨迹一定通过${\displaystyle \Delta ABC}$的内心.     方法三：考虑特殊情形,取${\displaystyle \Delta ABC}$为等腰直角三角形,即${\displaystyle \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}，\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|}$,     如图              这时, ${\displaystyle \Delta ABC}$的外心为${\displaystyle AC}$的中点${\displaystyle D}$，垂心为点${\displaystyle B}$.    而由题设知点P的轨迹是由点${\displaystyle A}$出发,方向为${\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}}$的射线${\displaystyle l}$,不经过点${\displaystyle D}$，也不经过点${\displaystyle B}$,故排除A、D两个选项.其次，由于${\displaystyle \overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AB}}$，知射线${\displaystyle l}$不平分${\displaystyle BC}$，即不通过${\displaystyle \Delta ABC}$的重心，排除选项C，从而得选项B为答案.     答案：B     评注:解决本题的关键是理解${\displaystyle “\frac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}”}$为与${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$同向的单位向量，弄清这一点后可依据向量加法和实数与向量的积等运算的几何意义来解决此题.

    学习感悟

    1、向量不同于数量.向量既有大小，又有方向.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
    2、向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质是向量的伸缩.
    3、数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活地平移向量.
    4、向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题.
   5、解决具体问题时，适当选择一组基底${\displaystyle \overrightarrow{e_1}、\overrightarrow{e_2}}$，利用平面向量的基本定理，把几何问题转化为关于${\displaystyle \overrightarrow{e_1}、\overrightarrow{e_2}}$的代数运算.
    6、关于数量的代数运算公式、法则在向量范围内并不完全适用，要防止负迁移.