解答题

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、

y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落

在线段DC上.

    （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，

     试写出折痕所在直线的方程；

    （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

解(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程

（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)

所以A与G关于折痕所在的直线对称，有

故G点坐标为

从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为

折痕所在的直线方程，即

由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：

k=0时，；时

（II）(1)当时，折痕的长为2;

(1)当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

令解得    ∴

所以折痕的长度的最大值2