解答题

(16)(本小题共14分)

如图,在直四棱柱中,,

    垂足为

     (Ⅰ)求证;

     (Ⅱ)求二面角的大小;

     (Ⅲ)求异面直线与所成角的大小

解:

（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，

∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．

   ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；

（II）连结A1E，C1E，A1 C1．

   与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．

  ∵  AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，

    又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，

    ∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，

    在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，  ∴ ∠A1EC1＝90°，

    即二面角A1－BD－C1的大小为90°．

（III）过B作 BF//AD交AC于F，连结FC1，

  则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．

 ∵  AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， 

 ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，

    在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=

即异面直线AD与BC1所成角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

连结

与(1)同理可证,,

∴为二面角的平面角.

由

得

∴

∴即

∴二面角的大小为

（Ⅲ）如图,由,

得

∴

∴

∵异面直线与所成角的大小为

解法三：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.

与（Ⅰ）同理可证

∴为二面角的平面角

由

得

∵

∴即

∴二面角的大小为