三、解答题

（21）（本小题满分12分）

已知函数，设曲线在点处的切线与X轴的交点，

其中x₁为正实数。

(Ⅰ)用x_n表示x_n+1；

(Ⅱ)求证：对一切正整数n，的充要条件是；

(Ⅲ)若x₁=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{an}的通项公式。

本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、

计算及解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题可得

所以过曲线上点的切线方程为，

即

令，得，即

显然 ∴

（Ⅱ）证明：（必要性）

若对一切正整数，则，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用数学归纳法易得，从而，即

又 ∴

于是，

即对一切正整数成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

从而，即

所以，数列成等比数列，故，

即，从而

所以