三．解答题

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分8分．

我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，

其中，，．

如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求

“果圆”的方程；

    （2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；

若不存在，说明理由．

解：（1） ，

，

    于是，所求“果圆”方程为

    ，．                    

（2）由题意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

    （3）设“果圆”的方程为，．

    记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

 的中点满足  

得 ．  

     ， ．

    综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 

    当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点

是．  

    由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，

即不在某一椭圆上．                                                        

    当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．