三、解答题

22．（本小题满分14分）

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；

（3）求数列的通项．

解：（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　　　　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．