三、解答题

21．（本小题满分12分）

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，

使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线双曲线的右支于两点，

试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

解法一：（1）在中，，即，

，即（常数），

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

（2）设，

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）设，，的中点为．

①当时，，

因为，所以；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

所以．

于是由得

因为，所以，又，

解得：．由①②知．