三、解答题

20．（本题满分16分）

已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，

记为数列的前项和．

（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）

（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项

都是数列中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？

若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）

本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想

方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．

解：（1）设等差数列的公差为，则由题设得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

（2）（ⅰ）证明为整数：

由得，即，

移项得．

因，，得，故为整数．

（ⅱ）证明数列中的每一项都是数列中的项：

设是数列中的任一项，只要讨论的情形．

令，即，

得．

因，当时，，为或，则为或；

而，否则，矛盾．

当时，为正整数，所以为正整数，从而．

故数列中的每一项都是数列中的项．

（3）取，，．

．

所以，，成等差数列．