三、解答题

20．（本小题满分13分）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．

设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识

解决问题的能力．

解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（Ⅱ）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．