三、解答题

19．（本小题满分14分）

已知公比为q(0＜q＜1)的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比

数列{a_n²}各项的和为。

（Ⅰ）求数列{a_n}的首项a₁和公比q：

（Ⅱ）对给定的k(k=1,2,…,n),设T^{k}是首项为a_k，公差为2a_k-1的

等差数列，求数列T^{2}的前10项之和：

（Ⅲ）设b_i为数列的第i项，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整数

m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）

解(Ⅰ)由题设可得:

∴数列的首项为3,公比q为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,等差数列的的首项为，公差

，即数列的前10项之和为155。

（Ⅲ）∵为数列的第i项，是首项为,公差为2-1的等差数列，

      ∴

又

=

=

令

则

以上两式相减得：

                ∴

∴

∴

因为m>1，且存在，

显然，当m=2时，,

当m>2时，，由题设不等于0，因此m>2不合题意，

舍去。故满足题设的m的值为2。