解答题

 (20) （本小题满分12分）

如图，已知长方体，，直线与平面

所成的角为，垂直于为的中点．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离 

(考查知识点：立体几何)

解法一：（向量法）

在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，

　所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．

　　　　由已知，可得．

　　　　又平面，从面与平面所成的角即为

　　　　又

　　　　从而易得

　　　　（Ⅰ）

　　　即异面直线、所成的角为

（Ⅱ）易知平面的一个法向量

　　　设是平面的一个法向量．

　　　由　　　

　　　取

∴

即平面与平面所成二面角（锐角）大小为

（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值

所以距离

所以点A到平面BDF的距离为

解法二：(几何法)

（Ⅰ）连结，过F作的垂线，垂足为K，

∵与两底面ABCD，都垂直，

∴

又

因此

∴为异面直线与所成的角

       连结BK，由FK⊥面得，

       从而  为

        在 和中，

        由得

        又， ∴

      ∴异面直线与所成的角为

（Ⅱ）由于面由作的垂线，垂足为，连结，

由三垂线定理知

∴即为平面与平面所成二面角的平面角

且，在平面中，延长与；交于点

∵为的中点，

∴、分别为、的中点

即，

∴为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合

易得，在中，

∴，

∴，

即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面

　　　∴面

　　　在中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离

      由AHDF=ADAF，得

所以点A到平面BDF的距离为