解答题

（21）（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知

与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、

不等式的性质等基本知识及综合分析能力

解：∵. 即.

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴.

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.

∵F(0, 1) ∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆中得：

|MN|=, |PQ|=2

∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2

当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得

(k2+2)x2+2kx－1=0, 

∴x1+x2=, x1·x2=

∴

同理可得：

∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|==

(当且仅当即时，取等号).

又S四边形PMQN =，∴此时, S四边形PMQN

综上可知：(S四边形PMQN )max=2,  (S四边形PMQN )min=